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4.3. DIE CBN-SEMANTIK 67
Seii := (ΦP,cbn) i (⊥cbn) für alle i ∈ IN.
i = 0 i = 1 i = 2 . . . i = ∞ (Dfix P,cbv =i)
liste1i () ⊥ [] : ⊥ [] : [] : ⊥ . . . [[], [], [], . . .]
liste2i () ⊥ [[]] : ⊥ [[]] : [[]] : ⊥ . . . [[[]], [[]], [[]], . . .]
headi t ↦→ ⊥
⎛
⎜
⎝
⊥ ↦→ ⊥
[] ↦→ ⊥
t 1:t 2 ↦→ t 1
⎞
⎟
⎠ wie i = 1 . . . wie i = 1
mit t, t 1, t 2 ∈ T ∞ C,⊥ .
Somit ist
[[liste1]] fix
P,cbn = [[], [], [], . . .] und [[liste2]] fix
P,cbn = [[[]], [[]], [[]], . . .],
und
[[head(liste1)]] fix
P,cbn = [] und [[head(liste2)]] fix
P,cbn = [[]]
stellt keinen Widerspruch zur Invarianz dar. ✷
Ein anderes Beispiel verdeutlicht die Ausdrucksmächtigkeit der Programme mit Pattern zusammen
mit der cbn-Semantik. Wir werden in Kapitel 7 noch einmal auf dieses Beispiel eingehen.
Beispiel 4.7 Paralleles And
and(False,x) → False
and(x,False) → False
and(True,True) → True
Die Operation and Dfix
P,cbn wird durch die folgende Wertetabelle beschrieben.
and Dfix
P,cbn ⊥ False True
⊥ ⊥ False ⊥
False False False False
True ⊥ False True
Bemerkung 4.3: Überabzählbarkeit des Rechenbereichs
Die Menge aller unendlichen, partiellen Konstruktorterme ist leider überabzählbar, wir wie in 2.4.2
festgestellt haben. Da jedoch nur eine abzählbare Menge von syntaktischen Termen TΣ und eine
abzählbare Menge von Programmen existiert, benötigen wir für deren Semantik eigentlich auch
nur einen abzählbaren Rechenbereich (wir können ” abzählbar“ sogar durch ” aufzählbar“ ersetzen).
Für viele Elemente t des Rechenbereichs T ∞ C,⊥ existiert kein t ∈ TΣ und kein Programm P mit
[[t]] fix
P,cbn = t. Es ist jedoch keine sinnvolle Charakterisierung der wirklich benötigten Teilmenge von
T∞ C,⊥ bekannt. Die schlichte Definition der benötigten Teilmenge als die Menge aller durch einen
beliebigen Term bei einem beliebigen Programm denotierten unendlichen, partiellen Konstruktorterme
stellt keine nützliche Lösung dar. Außerdem sind alle endlichen, partiellen Konstruktorterme
TC,⊥ denotierbar, und die echt unendlichen werden zumindest für die Fixpunktsemantik (und
auch für die Reduktionssemantik wie wir sehen werden) aufgrund der geforderten ω-Vollständigkeit
benötigt. ✷
✷