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5.4. SYNTAKTISCHES UND SEMANTISCHES ς-MATCHEN 107
Beweis:
Wir zeigen, daß Tred eine abzählbare gerichtete Teilmenge und Tpo sogar eine ω-Kette von TC,ς ist.
Da TΣ abzählbar ist, ist auch Tred ⊆ [[TΣ]] alg
∗
Tred. Somit ist t −−→ t
P,ς
′ ∗
und t −−→
P,ς
ein ˆt ∈ TΣ mit t ′ ∗
−−→ ˆt und t
P,ς ′′ ∗
⊥ς = {[[t′ ]] alg
⊥ς | t ∈ TΣ} abzählbar. Seien [[t ′ ]] alg
⊥ς , [[t′′ ]] alg
⊥ς ∈
t ′′ . Aufgrund der Konfluenz der ς-Reduktionsrelation existiert
−−→ ˆt. Mit Lemma 5.23 über Informationsgewinn bei Reduktion
P,ς
folgt [[t ′ ]] alg alg
✂ [[ˆt]] ⊥ς ⊥ς und [[t′′ ]] alg alg
✂ [[ˆt]] ⊥ς ⊥ς . Also ist Tred gerichtet.
Aus Lemma über Informationsgewinn bei Reduktion folgt auch direkt, daß Tpo eine ω-Kette ist.
Tred und Tpo besitzen als abzählbare gerichtete Teilmenge respektive ω-Kette aufgrund der ω-
Vollständigkeit von 〈TC,ς, ✂〉 eine kleinste obere Schranke. ✷
5.4 Syntaktisches und semantisches ς-Matchen
Hier beweisen wir einige grundlegende Beziehungen zwischen dem syntaktischen und dem sematischen
ς-Matchen.
In 5.4.1 zeigen wir zuerst Eigenschaften des syntaktischen ς-Matchens, analog zu den Eigenschaften
des semantischen ς-Matchens, die wir in 5.2.3 bewiesen haben. Hieraus folgt in 5.4.2 der zentrale
Satz über syntaktisches und semantisches ς-Matchen. Dieser bildet die Grundlage des Beweises der
Übereinstimmung der ς-Fixpunkt- und der ς-Reduktionssemantiken. In 5.4.3 beweisen wir mit Hilfe
dieses Satzes schon die Korrektheit der ς-Reduktion in der ς-Fixpunktsemantik.
5.4.1 Eigenschaften des syntaktischen ς-Matchens
Lemma 5.26 Syntaktisches ς-Matchen mit linearen Pattern
Sei t ∈ TΣ, p ∈ TC(X) ein lineares Pattern, σ : X→TΣ.
Es gilt
pσ = t (1)
genau dann, wenn
und
für alle x ∈ Var(p) gilt.
Beweis:
Strukturelle Induktion über p.
p = x: (x ∈ X).
p[⊥/Var(p)] ✂ t (2)
xσ = t/u , wobei {u} = Occ(x, p) ist, (3)
(2) ist trivialerweise erfüllt, und es ist klar, daß (1):
genau dann gilt, wenn (3):
gilt.
pσ = xσ = t
xσ = t/ε , wobei {ε} = Occ(x, p) ist,