Download (1405Kb)

80 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
Lemma 5.3 Über Variablenbelegungen mit ⊥ für cbv
Sei c ∈ TC(X) und β : Var(c)→T⊥ C mit β(x) = ⊥ für ein x ∈ Var(c). Dann ist
Beweis:
c = x: (x ∈ X).
[[x]] alg
⊥cbv,β = β(x) = ⊥.
c = G(c1, . . .,cn): (G (n) ∈ C).
[[c]] alg
⊥cbv,β = ⊥
Nach Voraussetzung existiert i ∈ [n] mit x ∈ Var(ci), so daß β(x) = ⊥. Nach Induktionsvoraussetzung
ist somit
Also gilt
[[ci]] alg
⊥cbv,β| = ⊥
Var(ci )
[[c]] alg
⊥cbv,β = G⊥cbv ([[c1]] alg
alg
⊥cbv,β| , . . .,[[cn]]
Var(c1 ) ⊥cbv,β| Var(cn) ) = G⊥cbv (. . .,⊥, . . .) = ⊥
Lemma 5.4 Über semantische cbv-Matchbarkeit
Werdet ∈ (T⊥ C )n mit dem Redexschema f (n) (p) ∈ RedSP, wobei f kein Verzweigungssymbol condG
sei, vermittels einer Variablenbelegung β : Var(p)→T ⊥ C semantisch cbv-gematcht.
Dann ist β(x) = ⊥ für alle x ∈ Var(p), d.h. β : Var(p)→T ⊥ C \ {⊥}.
Beweis:
Angenommen, es existiert ein x ∈ Var(p) mit β(x) = ⊥. Sei i ∈ [n], so daß dieses x ∈ Var(pi). Mit
Lemma 5.3 über Variablenbelegungen mit ⊥ für cbv folgt [[pi]] alg
⊥cbv,β = ⊥, d. h. ti = ⊥. Dann kann
jedoch im Widerspruch zur Voraussetzung aufgrund der erzwungenen Striktheit t nicht mit f(p)
vermittels β semantisch cbv-matchbar sein. ✷
Die folgende Aussage gilt für beliebige erzwungene Striktheiten ς.
Lemma 5.5 Über Variablenbelegungen ohne ⊥
Sei c ∈ TC(X) und β : Var(c)→TC,ς \ {⊥}. Dann ist
Insbesondere ist also [[c]] alg
⊥ς,β = ⊥.
Beweis:
c = x: (x ∈ X).
c[⊥/Var(c)] = ⊥ ✁ β(x) = [[c]] alg
⊥ς,β .
c[⊥/Var(c)] ✁ [[c]] alg
⊥ς,β .
✷