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2.4. TERME 21
Kommt jede Variable in einem Term t ∈ T∞ Σ,⊥ (X) höchstens einmal vor, d.h. ist
|Occ(x, t)| ≤ 1
für alle x ∈ X, so heißt t linear.
Der unendliche Teilterm von t ∈ T Σ(X) an der Stelle u ∈ Occ(t), t/u, ist gegeben durch
Occ(t/u) := {v ∈ IN ∗ + | u.v ∈ Occ(t)}
(t/u)(v) := t(u.v)
Der durch Einsetzen von t ∈ T Σ(X) an der Stelle u ∈ IN£+ in t ∈ T Σ(X) entstehende
unendliche Term t[u ← t ′ ] ist definiert durch
Occ(t[u ← t ′ ]) := {u.v | v ∈ Occ(t ′ )} ˙∪ {w ∈ Occ(t) | u ≤ w}
t[u ← t ′
t
](v) :=
′ (w) , falls v = u.w für ein w ∈ Occ(t ′ )
t(v) , andernfalls
Für endliche Terme t ∈ TΣ(X) stimmen die Definitionen mit den vorher gegebenen, einfacheren
Definitionen überein. Man beachte, daß wir Var(t) und Substitutionen nicht für unendliche Terme
definieren, da wir stets nur unendliche Grundterme verwenden werden.
Häufig verwenden wir endliche kartesische Produkte von Termen, (t1, . . .,tn) ∈ (T ∞ Σ,⊥ (X))n . Wir
schreiben diese meist als Vektor t := (t1, . . . , tn), wobei wir immer das gleiche Metasymbol (hier t)
für den Vektor t und die indizierten Elemente ti verwenden.
Auch für diese definieren wir die Menge der in ihnen vorkommenden Stellen:
Occ(t) := {i.ui ∈ IN ∗ + | i ∈ [n], ui ∈ Occ(ti)}
Die Definitionen für t(u), Occ(f,t), t/u und t[u ← t ′ ] ergeben sich kanonisch. Es ist jedoch zu beachten,
daß ε /∈ Occ(t) ist, und daher auch immer zwischen T ∞ Σ,⊥ (X) und (T∞ Σ,⊥ (X))1 unterschieden
werden muß.
Während TΣ(X) und auch TΣ,⊥(X) abzählbare Mengen sind, besitzen T∞ Σ (X) und T∞Σ,⊥ (X) die
Kardinalität der reellen Zahlen IR, wenn die Signatur Σ mindestens zwei 1-stellige oder ein 2-stelliges
Operationssymbol besitzt.
Dies wollen wir durch Beispiele verdeutlichen.
M := {r ∈ IR | 0 ≤ r < 1} ist bekanntlich gleich mächtig wie IR, und wir wollen zeigen, daß auch
M und T∞ Σ,⊥ (X) gleichmächtig sind, wenn a(0) ,1 (1) ,0 (1) ∈ Σ.
Sei r ∈ M, beispielsweise r = 0, 1001001... in Binärdarstellung. r wird dann durch den unendlichen
Term 1(0(0(1(0(0(1(. . .). . .) dargestellt.
Sei nun t ∈ T∞ Σ,⊥ (X), zum Beispiel
t =
f
f
1
⊥ a f
⊥