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108 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
p = G(p1, . . .,pn): (G (n) ∈ Σ, p1, . . .,pn ∈ TC(X) linear).
gilt genau dann, wenn
und
t = pσ = G(p1, . . .,pn)σ = G(p1σ, . . .,pnσ)
t = G(t1, . . .,tn)
∀i ∈ [n]. piσ = ti
gilt. Dies wiederum gilt nach Induktionsvoraussetzung genau dann, wenn
t = G(t1, . . .,tn),
∀i ∈ [n]. pi[⊥/Var(pi)] ≤ ti
∀i ∈ [n]. ∀x ∈ Var(pi). xσ = ti/u , wobei {u} = Occ(x, pi) ist,
gilt. Unter Zusammenfassung der ersten beiden Bedingungen gilt dies genau dann, wenn
und
für alle x ∈ Var(p) gilt.
p[⊥/Var(p)] = G(p1, . . . , pn)[⊥/Var(p)] ✂ t
xσ = t/u , wobei {u} = Occ(x, p) ist,
Die Linearität des Patterns p ist in obigem Lemma von entscheidender Bedeutung, da nur deshalb
|Occ(x, p)| = |{u}| = 1 gelten kann. Außerdem ist zu beachten, daß in (2) der Ausdruck t/u
wohldefiniert ist: Aus dem Beweis geht implizit hervor, daß aus (1) u ∈ Occ(t) folgt.
Lemma 5.27 Syntaktisches ς-Matchen
Sei f (n) (p) ∈ RedSP, t ∈ (TΣ) n , σ : X→TΣ.
t wird mit f(p) von der Substitution σ genau dann syntaktisch ς-gematcht, wenn
und
für alle x ∈ Var(p) gilt.
Beweis:
⇐: Sei i ∈ [n]. Nach (2) ist
für alle x ∈ Var(pi).
∀i ∈ [n]. (ς(f)(i) = tt ⇒ [[ti]] alg
⊥ς = ⊥) ∧ (pi[⊥/Var(pi)] ✂ [[ti]] alg
) (1)
xσ = t/u , wobei {u} = Occ(x, p), (2)
xσ = ti/u , wobei {u} = Occ(x, pi),
Zusammen mit (1) folgt nach Lemma 5.26 über syntaktisches ς-Matchen mit linearen Pattern
piσ = ti.
Da dies für alle i ∈ [n] gilt, ist f(t) ein Redex zu f(p). Zusammen mit (1) folgt gemäß der
Definition des ς-Redexes und der Definition des syntaktischen ς-Matchens, daß t mit f(p)
unter σ syntaktisch ς-matchbar ist.
⊥ς
✷