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134 KAPITEL 6. UNTERSUCHUNG DER ς-SEMANTIKEN
Die Klasse 1 aller Modelle des Programms P wird mit ModP bezeichnet. ✷
Zueinander isomorphe Modelle werden üblicherweise nicht unterschieden. Man spricht dann von
abstrakten algebraischen Datentypen. Trotzdem besitzt eine algebraische Spezifikation im allgemeinen
viele (nicht zueinander isomorphe) Modelle, von denen nur eines der durch die Spezifikation
bestimmte (abstrakte algebraische) Datentyp sein soll. Bei rein aus Gleichungen bestehenden algebraischen
Spezifikationen wird hierfür das initiale Modell, d. h. die initiale Algebra aller Modelle,
gewählt. Es ist bekannt, daß das initiale Modell in diesem
£
Fall immer existiert: Es ist die Quotientenalgebra
der Grundtermalgebra modulo der Kongruenz der Gleichungen (bzw. ist isomorph
zu dieser). Das initiale Modell eines Programms P ist somit die Quotientenalgebra der
Grundtermalgebra TΣ modulo der Kongruenz ←→È
, TΣ/ ∗
←→ . Im Kalkül der Termerset-
P
zungssysteme wird das initiale Modell bzw. diese Quotientenalgebra ebenso verwendet (Kapitel 3
in [Der&Jou90]).
Warum definieren wir nicht analog zu den algebraischen Spezifikationen den Datentyp eines Programms
als dessen initiales Modell?
Hierfür gibt es zwei gute Gründe.
Erstens sollen Programme ausführbare Spezifikationen sein. Da sich mit abstrakten Äquivalenzklassen
jedoch nicht effektiv rechnen läßt, sind Berechnungen nicht in beliebigen Quotientenalgebren
möglich. Programme algebraischer Spezifikationssprachen, die ausführbar sein sollen, sind daher
terminierende, konfluente Termersetzungssysteme. In diesem Fall ist die initiale Algebra isomorph
zum sogenannten Normalformmodell. Da ein Programm P bzw. dessen Reduktionsrelation −−→
P
grundsätzlich konfluent ist, müssen wir für die Wohldefiniertheit des Normalformmodells nur noch
die Termination fordern.
Definition 6.2 Normalformmodell eines terminierenden Programms
Das Programm P, d. h. seine Reduktionsrelation −−→ , sei terminierend. Das Normalformmodell
P
des Programms P ist definiert als die Algebra Mnf P := 〈TΣ ↓P,α〉, gegeben durch
und
TΣ ↓ P := {t↓ P | t ∈ TΣ}
g Mnf
P (t) := g(t)↓ P
für alle g (n) ∈ Σ, t ∈ (TΣ ↓ P) n . ✷
Im Normalformmodell ist eine Äquivalenzklasse durch eine Normalform eindeutig repräsentiert. Die
Berechnung der Semantik eines Terms erfolgt schlicht durch die Berechnung von dessen Normalform.
Es ist zu beachten, daß trotz der großen Ähnlichkeit zu der in Definition 3.7, S. 45, definierten
Normalformsemantik das Normalformmodell kein Datentyp dieser Normalformsemantik ist. Der
Träger des Normalformmodells enthält kein spezielles Element ⊥, und es wird nicht zwischen Konstruktornormalformen
und anderen Normalformen unterschieden.
Hieraus ergibt sich die zweite unerwünschte Eigenschaft des initialen Modells: Zwar wird kein spezieller
Wert ⊥ für nicht-terminierende Berechnungen benötigt, aber im allgemeinen enthält der Träger
des Normalformmodells neben den Konstruktorgrundtermen, die grundsätzlich Normalformen sind,
auch noch andere Terme.
1 Entsprechend unserer Anmerkung in 2.1 ist die Kollektion der Modelle eine Klasse und keine Menge.