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38 KAPITEL 3. DIE PROGRAMME
Beispiel 3.1 Addition und Multiplikation mit Pattern
add(x,Zero) → x
add(x,Succ(y)) → Succ(add(x,y))
mult(x,Zero) → Zero
mult(x,Succ(y)) → add(x,mult(x,y))
Programme bestehen also hauptsächlich aus Termen über einer Signatur. Die klare Unterscheidung
zwischen den die Datenelemente aufbauenden Konstruktoren (Zero, Succ) und den eigentlichen
Funktionen (add, mult) bildet die Grundlage konstruktorbasierter funktionaler Programmiersprachen
und steht damit übrigens im Gegensatz zu der bei algebraischen Spezifikationen ([Wir90])
üblichen Vorgehensweise. Die Unterscheidung legen wir schon in den speziellen Signaturen für Programme,
den Programmsignaturen, fest.
Definition 3.1 Programmsignatur
Sei C eine Signatur von Konstruktorsymbolen, die mindestens eine Konstante enthält, d. h.
C0 = ∅. Sei F eine Signatur von Funktionssymbolen. Es gelte C ∩ F = ∅. Dann ist Σ = (C, F)
eine Programmsignatur.
Wir fassen die Programmsignatur oft auch als Signatur Σ = C ˙∪ F auf wobei jedoch noch jedes
Operationssymbol f ∈ Σ eindeutig als Konstruktor- oder Funktionssymbol identifizierbar sein soll.
✷
Zur einfacheren Unterscheidung verwenden wir grundsätzlich Großbuchstaben für die Bezeichnung
von Konstruktorsymbolen. Funktionssymbole und auch Symbole der Programmsignatur allgemein
werden durch Kleinbuchstaben gekennzeichnet. Auch in konkreten Beispielen verwenden wir diese
Konvention, wobei Bezeichner von Konstruktoren dann mit einem Großbuchstaben beginnen. Die
funktionalen Programmiersprachen Miranda und Haskell erzwingen dies durch ihre Syntax.
Definition 3.2 Programm mit Pattern
Sei Σ eine Programmsignatur und X eine Variablenmenge. Ein geordnetes Paar von Termen
f(p1, . . .,pn) → r
mit f (n) ∈ Σ, p1, . . .,pn ∈ TC(X), l := f(p1, . . . , pn) linear und r ∈ TΣ(Var(p)) heißt Programmregel
mit Pattern. Eine endliche Menge P von Programmregeln mit Pattern, die die Eindeutigkeitsbedingung
l1→r1, l2→r2 ∈ P, l1σ1 = l2σ2 =⇒ r1σ1 = r2σ2
erfüllt, heißt Programm mit Pattern. ✷
Auf den offensichtlichen Zusammenhang mit beinahe orthogonalen Termersetzungssystemen werden
wir erst in 3.2 eingehen.
Die Eindeutigkeitsbedingung besagt, daß die Überlappung linker Programmregelseiten nur zugelassen
wird, wenn unter den unifizierenden Substitutionen auch die entsprechenden rechten Regelseiten
syntaktisch gleich sind.
✷