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82 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
Lemma 5.7 Semantisches ς-Matchen mit linearen Pattern
Sei t ∈ TC,ς, p ∈ TC(X) ein lineares Pattern und β : X→TC,ς. Es gelte
Dann ist
genau dann, wenn
für alle x ∈ Var(p) ist.
Beweis:
Strukturelle Induktion über p.
p = x: (x ∈ X).
Trivialerweise gilt (2):
genau dann, wenn
gilt.
p[⊥/Var(p)] ✂ t. (1)
[[p]] alg
⊥ς,β = t (2)
β(x) = t/u , wobei {u} = Occ(x, p), (3)
[[p]] alg
⊥ς,β = β(x) = t
β(x) = t/ε , wobei {ε} = Occ(x, p),
p = G(p1, . . .,pn): (p1, . . .,pn ∈ TC(X) linear, G (n) ∈ C).
Aus Voraussetzung (1) folgt, daß
mit t 1, . . .,t n ∈ TC,ς ist, und
gilt.
Weil t ∈ TC,ς, folgt aus (4):
Es gilt nun
genau dann, wenn
und
gilt.
t = G(t 1, . . .,t n) (4)
∀i ∈ [n]. pi[⊥/Var(p)] ✂ t i
∀i ∈ [n]. (ς(G)(i) = tt ⇒ t i = ⊥) (6)
t = [[p]] alg def ⊥ς
⊥ς,β = G ([[p1]] alg alg
⊥ς,β , . . .,[[pn]] ⊥ς,β ) (7)
G ⊥ς ([[p1]] alg alg
alg alg
⊥ς,β , . . . , [[pn]] ⊥ς,β ) = G([[p1]] ⊥ς,β , . . .,[[pn]] ⊥ς,β ) (8)
∀i ∈ [n]. [[pi]] alg
⊥ς,β = t i
(8) läßt sich umformulieren zu der äquivalenten Bedingung
∀i ∈ [n]. (ς(G)(i) = tt ⇒ [[pi]] alg
⊥ς,β = ⊥).
(5)
(9)