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5.4. SYNTAKTISCHES UND SEMANTISCHES ς-MATCHEN 109
⇒: Nach Definition des ς-Redexes bzw. des semantischen ς-Matchens gilt (1). Da f(t) ein Redex
von f(p) unter σ ist, ist
piσ = ti
für alle i ∈ [n]. Daraus folgt mit Lemma 5.26 über syntaktisches ς-Matchen mit linearen
Pattern, daß
xσ = ti/u , wobei {u} = Occ(x, pi),
für alle x ∈ Var(pi) und i ∈ [n] ist. Somit ist auch (2) gegeben.
Die Wohldefiniertheit von (2) ist aus den gleichen Gründen wie beim vorhergehenden Lemma 5.26
gegeben.
Korollar 5.28 Syntaktische ς-Matchbarkeit
Sei f (n) (p) ∈ RedSP, t ∈ (TΣ) n , σ : X→TΣ.
t ist mit f(p) genau dann syntaktisch ς-matchbar, wenn
gilt.
∀i ∈ [n]. (ς(f)(i) = tt ⇒ [[ti]] alg
⊥ς = ⊥) ∧ (pi[⊥/Var(pi)] ✂ [[ti]] alg
⊥ς )
Beweis:
Im vorhergehenden Lemma 5.27 über syntaktisches ς-Matchen stellt nur (1) Anforderungen an t
und f(p), während (2) die Substitution σ festlegt. ✷
5.4.2 Der Satz über syntaktisches und semantisches ς-Matchen
Das folgende Vertauschungslemma dient allein als Hilfslemma für den darauf folgenden Satz.
Lemma 5.29 Vertauschung von Semantik und Teiltermbildung
Sei t ∈ TC(X) ein Konstruktorterm,∈IntΣ,ς und β : Var(t)→TC,ς eine Variablenbelegung. Sei
u ∈ Occ(t) ∩ Occ([[t]] alg
). Dann ist ,β
Beweis:
u = ε: [[t]] alg
/ε = [[t]] ,β alg
= [[t/ε]] ,β alg
,β .
u = u ′ .i: (i ∈ IN+).
[[t]] alg
/u = [[t/u]] ,β alg
,β .
Da u ′ ∈ Occ(t) ∩ Occ([[t]] alg
), gilt nach Induktionsvoraussetzung ,β
Da nach Voraussetzung u ′ .i ∈ Occ(t), kann nicht
[[t]] alg
,β /u′ = [[t/u ′ ]] alg
. (1) ,β
t/u ′ = x ∈ X
✷