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5.3. DIE ς-REDUKTIONSSEMANTIKEN 99
Beispiel 5.5 Reduktion an einer outermost Redexstelle und die cbv-Semantik
Betrachten wir jetzt
Es ist
inf → Succ(inf)
condSucc(Succ(inf),Zero,inf)
ε
−−→ Zero
[[condSucc(Succ(inf),Zero,inf)]] fix
P,cbv = ⊥ = Zero = [[Zero]] fix
P,cbv.
Die Reduktion an der outermost Redexstelle ε ist nicht korrekt in der cbv-Fixpunktsemantik, da
[[Succ(inf)]] fix
P,cbv
P,cbv
= ⊥, und die Verzweigungsoperation condDfix Succ an der ersten Stelle strikt ist. ✷
Das allgemeine Problem bei der Reduktion mit einer Reduktionsregel f(p)→r besteht darin, daß die
Argumente von f in einem Redex f(t) meistens noch Funktions- oder Hilfssymbole enthalten. Die
Reduktion ist jedoch nur dann mit Sicherheit korrekt, wenn f nicht erzwungen strikt für die unbekannten
semantischen Werte der Argumente ist, und die semantischen Werte der Argumente auch
zum Pattern der Reduktionsregel passen. (Die Reduktion kann natürlich auch andernfalls korrekt
sein; dies hängt auch von der rechten Regelseite ab; diese wollen wir jedoch nicht betrachten.)
Die semantische Approximation ermöglicht es sicherzustellen, daß die genannten Bedingungen
erfüllt sind.
Definition 5.8 Semantische Approximation
Die algebraische Grundtermsemantik bezüglich der kleinsten ς-Interpretation ⊥ς, [[·]] alg
, heißt se-
⊥ς
mantische Approximation bezüglich der erzwungenen Striktheit ς.
[[G(t)]] alg
⊥ς =
[[f(t)]] alg
⊥ς
⎧
⎪⎨
⎪⎩
= ⊥
G([[t1]] alg alg
, . . .,[[tn]] ⊥ς ⊥ς
⊥ , andernfalls
) , falls G nicht erzwungen strikt
für ([[t1]] alg alg
, . . .,[[tn]] ⊥ς ⊥ς )
für alle G (n) ∈ C, f (n) ∈ F( ˙∪ H). ✷
Aus der Monotonie der algebraischen Termsemantik bezüglich der Algebra gemäß Lemma 5.16,
S. 91, folgt, daß für alle∈IntΣ,ς und t ∈ TΣ [[t]] alg
⊥ς
garantiert t ✂ [[t]] alg
⊥ς
also auch t ✂ [[t]]alg .
✂ [[t]]alg ist.
Für ein beliebiges t ∈ T ∞ C,⊥
Wir definieren den Begriff des syntaktischen ς-Matchens in Analogie zum semantischen ς-Matchen
(Def. 5.5, S. 76). Damit definieren wir die Menge der ς-Redexe, deren Reduktion in der ς-
Fixpunktsemantik korrekt ist.
Definition 5.9 Syntaktisches ς-Matchen
Ein Termtupel t ∈ (TΣ) n heißt genau dann mit einem Redexschema f (n) (p) ∈ RedSP unter einer
Substitution σ : Var(p)→TΣ syntaktisch ς-matchbar, wenn
1. f nicht erzwungen strikt für ([[t1]] alg alg
, . . .,[[tn]] ) ist, und
⊥ς ⊥ς