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110 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
sein, sondern es muß
t/u ′ = G(t1, . . . , tn)
für ein G (n) ∈ C, t1, . . .,tn ∈ TC(X), n ≥ i sein. Dies impliziert
Definitionsgemäß gilt
t/u ′ .i = ti. (2)
[[t/u ′ ]] alg
= G([[t1]] ,β alg
, . . .,[[tn]] ,β alg
). (3) ,β
Da nach Voraussetzung u ′ .i ∈ Occ([[t]] alg
), kann aus (3) nicht ,β
folgen, sondern es muß
sein. Daraus folgt
Insgesamt gilt nun:
[[t/u ′ ]] alg
= ⊥ ,β
[[t/u ′ ]] alg
= G([[t1]] ,β alg
, . . .,[[tn]] ,β alg
,β )
[[t/u ′ ]] alg
/i = [[ti]] ,β alg
. (4) ,β
[[t]] alg
/u = ([[t]] ,β alg
,β /u′ )/i (1)
= [[t/u ′ ]] alg (4)
/i = [[ti]] ,β alg (3) ′ alg
= [[t/u .i]] = [[t/u]] ,β ,β alg
,β .
Der folgende Satz ist von grundlegender Bedeutung für die Übereinstimmung der ς-Fixpunkt- und
der ς-Reduktionssemantiken.
Satz 5.30 Syntaktisches und semantisches ς-Matchen
Sei f (n) (p) ∈ RedSP und t ∈ (TΣ) n .
t ist mit f(p) unter einer Substitution σ : X→TΣ syntaktisch ς-matchbar
⇐⇒
([[t1]] alg alg
, . . .,[[tn]] ) mit f(p) semantisch ς-matchbar ist
⊥ς ⊥ς
⇐⇒
für alle Interpretationen∈IntΣ,ς ([[t1]] alg
, . . .,[[tn]] alg
) mit f(p) unter einer jeweiligen Variablenbelegung
β: X→TC,ς semantisch ς-matchbar ist.
Ist die syntaktische und semantische ς-Matchbarkeit gegeben, so besteht folgender Zusammenhang
zwischen der Substitution σ und der Variablenbelegung β:
β(x) = [[xσ]] alg
für alle x ∈ Var(p), bzw. allgemeiner
[[t]] alg
,β= [[tσ]] alg
für alle t ∈ TΣ(Var(p)).
✷