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6.2. DEKLARATIVE EIGENSCHAFTEN DER ς-SEMANTIKEN 139<br />

⇐⇒ Für alle f (n) (p)→r ∈ ˆ P und alle β : Var(p)→TC,cbn gilt<br />

⇐⇒ (da [[pi]] alg alg<br />

= [[pi]] wegen ⊥cbn ,β<br />

pi ∈ TC(X))<br />

f([[p1]] alg alg<br />

, . . .,[[pn]] ) = [[r]]alg<br />

⊥cbn ⊥cbn ,β .<br />

Für alle f (n) (p)→r ∈ ˆ P und alle β : Var(p)→TC,cbn gilt<br />

⇐⇒ist ein Modell des Programms P.<br />

[[f(p)]] alg<br />

= [[r]] ,β alg<br />

,β .<br />

Diese Aussage ist jedoch nicht verallgemeinerbar. Für erzwungene Striktheiten ς = cbn gilt nicht<br />

allgemein, daß die Fixpunkte der ς-Transformation Modelle sind; es gilt noch nicht einmal DP,ς ∈<br />

ModP.<br />

Beispiel 6.3 ς-Fixpunkte ⊆ ModÈ<br />

f(x) → A<br />

f sei erzwungen strikt an seiner einzigen Argumentstelle, d. h. ς(f) = (tt).<br />

Dann gilt für jeden Fixpunkt∈IntΣ,ς von ΦP,ς f(⊥) = ⊥. Somit ist für die Variablenbelegung<br />

β mit β(x) = ⊥<br />

[[f(x)]] alg<br />

= f(⊥) = ⊥ = A = [[A]] ,β alg<br />

,β .<br />

Also istkein Modell des Programms. ✷<br />

Die fehlende Modelleigenschaft der ς-Datentypen für ς = cbn ist enttäuschend, aber auch leicht<br />

verständlich. Die erzwungene Striktheit ς ist ein Parameter unserer ς-Semantiken, der völlig unabhängig<br />

von einem Programm die Striktheit gewisser Operationen an bestimmten Argumentstellen<br />

erzwingt. Dagegen hängt die Gültigkeit und Modelleigenschaft alleine von dem gegebenen<br />

Programm ab.<br />

Wir wollen auch die Umkehrung der Aussage des obigen Lemmas überprüfen. Selbstverständlich<br />

ist nicht jedes Modell ein Fixpunkt der cbn- oder gar aller ς-Transformationen. Darum betrachten<br />

wir nur die Modelle, die auch ς-Interpretationen sind.<br />

Definition 6.5 ς-Interpretationsmodell<br />

Eine ς-Interpretation, welche ein Modell des Programms P ist, heißt ς-Interpretationsmodell<br />

des Programms P. IntModP,ς := IntΣ,ς ∩ ModP ist die Menge der ς-Interpretationsmodelle des<br />

Programms P. ✷<br />

Tatsächlich ist jedes cbv-Interpretationsmodell ein Fixpunkt der cbv-Transformation. Auf einen<br />

Beweis wollen wir allerdings verzichten. Dagegen sind für beliebige erzwungene Striktheiten ς oder<br />

auch nur ς = cbn ς-Interpretationsmodelle nicht immer Fixpunkte der ς-Transformation:<br />

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