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2.5. TERMERSETZUNGSSYSTEME 31
In [O’Do77] ist eine Residuenabbildung schlicht eine Abbildung r mit den folgenden 3 Eigenschaften:
• v ∈ RedOccR,I(t), ˆv ∈ r(v, t
• u, v ∈ RedOccR,I(t), u v =⇒ r(u, t
• r(u, t
u
−−→ t ′ ) = ∅
u
−−→ t ′ ) =⇒ ˆv ∈ RedOccR,I(t ′ )
w
−−→ t ′ w
) r(v, t −−→ t ′ )
Somit ist für residual abgeschlossene Redexmengen RedR,I die hier definierte Residuenabbildung
auch eine Residuenabbildung im Sinne von [O’Do77], und die dort bewiesenen Lemmata können
übernommen werden. Freilich wird dort die Residuenabbildung für alle Stellen IN ∗ + definiert, hier
nur für die Redexstellen RedR, um die Unabhängigkeit der Residuen von der bei der Reduktion
verwendeten Regel, wie in Lemma 2.5 bewiesen, sicherzustellen. Da jedoch auch in [O’Do77] die
Residuenabbildung nur auf Redexstellen angewendet wird, ist dieser Unterschied bedeutungslos.
Die Residuenabbildung ist kanonisch auf Mengen von Redexstellen erweiterbar:
U \ t −−→ t ′ := {u \ t −−→ t ′ | u ∈ U}
Auch für parallele Reduktion definieren wir die Residuenabbildung:
u \ t
V
−−→ t ′ :=
{u} , falls für alle v ∈ V v u oder u < v
v
u \ t −−→ t ′′ , falls v ∈ V mit v ≤ u existiert
Da V eine Menge voneinander unabhängiger Redexstellen ist, ist im zweiten Fall v eindeutig bestimmt.
Die Erweiterung auf Mengen von Redexstellen erfolgt wie oben.
Ist die Redexmenge RedR,I residual abgeschlossen, so lassen sich Reduktionen vertauschen.
Lemma 2.8 Einfaches Vertauschen von Reduktionen
Sei RedR,I residual abgeschlossen. Wenn
t
ε
−−→ t
R,I
′ u
und t −−→ t
R,I
′′
Reduktionen mit u = ε sind, dann existiert ˆt ∈ TΣ, so daß
mit U := u \ t
t
′ U
−−→ ˆt und t
R,I
ε
−−→ t
R,I
′ Reduktionen sind. Kurz:
′′ ε
−−→ ˆt
R,I
t
ε
u
t ′
t
U
′′
ε
ˆt