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2.5. TERMERSETZUNGSSYSTEME 33
Das einfache Vertauschen von Reduktionen läßt sich verallgemeinern zum zentralen allgemeinen
Residuenlemma (Parallel Moves Lemma in [Huet&Lévy79]).
Lemma 2.9 Allgemeines Residuenlemma
Sei RedR,I residual abgeschlossen. Wenn
Reduktionen sind, dann existiert ˆt ∈ TΣ, so daß
mit U ′ = U \ t
Kurz:
V
−−→ t
R,I
′′ und V ′ = V \ t
Beweis:
Die Reduktionsrelation −−→
R,I
Wenn t
daß
• t ′′
t
t
U
−−→ t
R,I
′ V
und t −−→ t
R,I
′′
′ V ′
−−→ ˆt und t
R,I
′′ U ′
−−→ ˆt
R,I
U
−−→ t
R,I
′ Reduktionen sind.
t
U
R,I
V
R,I
t ′
V
′
R,I
t
′′
U
′
R,I
ˆt
ist geschlossen (closed) nach [O’Do77], d.h. es gilt:
ε
−−→ t
R,I
′ u
und t −−→ t
R,I
′′ Reduktionen mit u = ε sind, dann existiert ˆt ∈ TΣ, so
ε
−−→ ˆt und t
R,I ′ U
−−→ ˆt
ε
mit U := u \ t −−→ t
R,I R,I
′ Reduktionen sind, und
ε
−−→ ˆt
ε
= v \t −−→ t
R,I R,I
′ gilt.
• v ∈ RedOccR,I(t), v u =⇒ v ∈ RedOccR,I(t ′′ ), v \t ′′
Die erste Teileigenschaft ist im letzten Lemma bewiesen worden. Bezüglich der zweiten läßt sich
u
feststellen, daß v \ t −−→ t ′′ = {v} und somit v ∈ RedOccR,I(t ′′ ), und
v \ t
′′ ε
−−→ ˆt = v \ t
R,I
R,I
′′ ε
−−→ ˆt = {w
l→r ′ .v ′ | v = w.v ′ , l/w = r/w ′ ∈ X} = v \ t
ε
−−→ ˆt
l→r
′ ε
= v \ t −−→ ˆt
R,I
′ .
Damit folgt die Aussage vermittels mehrfacher Induktion, siehe Lemmata 9 – 12 in [O’Do77]. ✷
Das allgemeine Residuenlemma impliziert, daß für jede residual abgeschlossene Redexmenge RedR,I
∗
−−→ stark konfluent und somit −−→ und −−→ konfluent sind ( −−→ =
R,I
R,I R,I
R,I ∗
−−→ ). Mit Lemma
R,I
2.6 über die residuale Abgeschlossenheit der Redexmenge RedR folgt die Konfluenz von −−→ und
R
−−→ .
R
Das Residuenlemma läßt sich auch so interpretieren, daß die Reduktion t ′
duktion von t
V
−−→ t
R,I
′′ nach t
V ′
−−→
R,I ˆt durch die Re-
U
−−→ t
R,I
′ entsteht. Diese Reduktion einer Reduktion kann auf eine
Reduktionsfolge induktiv fortgesetzt werden ([O’Do77], Def. 27; [Huet&Lévy79]). Auf diese Weise
erhält man das Residuum A ′ einer Reduktionsfolge A. A ′ besitzt sehr ähnliche Eigenschaften wie
A. Dieses werden wir später in Induktionsbeweisen ausnutzen.