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24 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN
t
T T
t ′
T
t
′′
T
ˆt
t
∗
T
∗
T
t ′
t
∗
T
′′
∗
T
ˆt
−−→ heißt genau dann terminierend, wenn keine unendliche Folge (ti)i∈IN+ ̺
mit ti −−→ ti+1 für
̺
alle i ∈ IN+ existiert (t1 −−→ t2 −−→ . . .).
̺ ̺
Starke Konfluenz impliziert Konfluenz, während die Umkehrung im allgemeinen nicht gilt. Wenn
−−→ konfluent ist, besitzt jedes t ∈ T höchstens eine ̺-Normalform t↓ ̺
̺. Wenn −−→ terminierend
̺
ist, besitzt jedes t ∈ T mindestens eine ̺-Normalform. Relationen −−→ , die sowohl konfluent als
̺
auch terminierend sind, heißen vollständig oder konvergent. Für vollständige −−→ besitzt jedes
̺
t ∈ T somit genau eine ̺-Normalform t↓̺. Die gerade definierten Begriffe und angegebenen Eigenschaften lassen sich nun insbesondere für die
Reduktionsrelationen −−→ und −−→ verwenden.
R,̺ R,̺
Hierbei gebrauchen wir den Begriff ̺-Normalform für t↓R,̺, und, wenn ̺ die Menge aller Reduk-
tionen ist, bezeichnen wir t↓ R schlicht als Normalform. Ein Term t ∈ TΣ ist genau dann eine
Normalform, wenn RedOccR(t) = ∅ ist. Ist −−→
konfluent, so heißt eine ̺-Reduktionsstrategie
R
genau dann normalisierend, wenn für alle t ∈ TΣ t↓R genau dann existiert, wenn t↓R,̺ existiert,
und im Falle der Existenz t↓R = t↓R,̺ ist.
∗
∗
Neben den Relationen −−→ und −−→
R,̺ R,̺
schreiben wir auch für endliche Reduktionsfolgen A =
t1 −−→ . . . −−→ tn bzw. A
R,̺ R,̺
′ = t ′ 1 −−→ . . . −−→
R,̺ R,̺
t ′ ∗
n mitunter A = t1 −−→ tn bzw. A
R,̺
′ = t ′ ∗
1 −−→
R,̺
t ′ n.
Ist −−→ terminierend/konfluent, so sagen wir auch, daß das Termersetzungssystem R terminie-
R
rend/konfluent ist.
−−→ ist natürlich niemals terminierend. −−→ ist im allgemeinen weder terminierend noch kon-
R,̺
R
fluent. Es ist unentscheidbar, ob R terminierend ist ([Huet&Lank78]), oder ob R konfluent ist
([Bau&Otto84]).
Im folgenden betrachten wir eine Teilmenge von Termersetzungssystemen, deren Reduktionsrelation
immer konfluent und deren parallele Reduktionsrelation sogar stark konfluent ist.
2.5.2 Beinahe orthogonale Termersetzungssyteme
Termersetzungssysteme sind noch eine viel zu allgemeine Grundlage für unsere funktionalen Programmiersprachen.
Insbesondere benötigen wir die Konfluenz der Reduktionsrelation, die jedoch
im allgemeinen unentscheidbar ist, wie wir gerade festgestellt haben. Auch sind viele Eigenschaften
des Reduktionsverhaltens schwer faßbar.
Die syntaktisch eingeschränkteren beinahe orthogonalen Termersetzungssysteme stellen daher
eine wichtige Teilmenge der allgemeinen Termersetzungssysteme dar. Sie werden im Prinzip
in [Ros73] zum ersten Mal betrachtet und in [O’Do77] ausführlich behandelt. Freilich werden in
diesen Werken noch keine Termersetzungssysteme in unserem Sinne definiert, worauf wir gleich
noch eingehen werden. Von entscheidender Bedeutung ist die nur für beinahe orthogonale Termersetzungssysteme
definierbare und auch schon in [Ros73] eingeführte Residuenabbildung. Sie