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4.3. DIE CBN-SEMANTIK 65
Aus der Gleichheit der Datentypen folgt auch die Gleichheit der Grundtermsemantiken.
Korollar 4.6 Gleichheit der li-Reduktionssemantik und der cbv-Fixpunktsemantik
Beweis:
[[·]] li P = [[·]]alg
Dli P
[[·]] li P = [[·]] fix
P,cbv.
= [[·]] alg
Dfix = [[·]]
P,cbv
fix
P,cbv . ✷
4.3 Die cbn-Semantik
Der call-by-name Auswertungsmechanismus übergibt die Argumente einer Funktion an diese in einer
unausgewerteten Form und wertet diese erst aus, wenn sie im Funktionskörper wirklich für das
Funktionsergebnis benötigt werden. Während der cbv-Auswertungsmechanismus die Striktheit der
Funktionen erzwingt, können in mit dem cbn-Auswertungsmechanismus arbeitenden funktionalen
Programmiersprachen Funktionen auch nicht-strikt sein. Da insbesondere die die Datenelemente
aufbauenden Konstruktoren nicht-strikt sind, ist die Spezifikation sogenannter ” unendlicher“
Datenstrukturen möglich. Diese ” unendlichen“ Datenstrukturen können zwar niemals selbst das
Ergebnis einer (terminierenden) Berechnung sein, aber mit ihnen lassen sich viele Programmierprobleme
sehr elegant lösen (siehe Kapitel 4 in [Fie&Har88]).
4.3.1 Die Fixpunktsemantik
Die Definition der cbn-Fixpunktsemantik erfolgt analog zur cbv-Fixpunktsemantik. Unterschiede
ergeben sich nur aus der möglichen Nicht-Striktheit der Operationen. Funktions- und Hilfsoperationen
sind nur noch strikt, wenn sie durch das Programm bzw. das assoziierte Termersetzungssystem
derart spezifiziert sind, und Konstruktoroperationen sind generell nicht-strikt.
Da nun für die Applikation von Konstruktoroperationen auf ⊥ neue Datenelemente benötigt werden,
verwenden wir anstelle von T ⊥ C die Menge der unendlichen, partiellen Konstruktorterme T∞ C,⊥
als Rechenbereich. Die echt partiellen Konstruktorterme stellen Approximationen von totalen
Konstruktortermen dar, und die kanonische Halbordnung 〈T∞ C,⊥ , ✂〉 repräsentiert diese Approximation.
Die Halbordnung 〈T∞ C,⊥ , ✂〉 ist ω-vollständig, wie es für die Fixpunktsemantik benötigt
wird.
Definition 4.7 cbn-Interpretation
Sei 〈T∞ C,⊥ , ✂〉 die kanonische Halbordnung der unendlichen, partiellen Konstruktorterme. Sei
α :
i∈IN
Σn→[(T ∞ C,⊥) n →T ∞ C,⊥]
eine Zuordnung von ω-stetigen Operationen an die Operationssymbole mit
für alle G (n) ∈ C und t1, . . .,t n ∈ T∞ C,⊥ .
Eine ω-vollständige Σ-Algebra=〈T ∞ C,⊥
α(G)(t 1, . . .,t n) = G(t 1, . . .,t n)
, ✂, α〉 heißt cbn-Interpretation. Die Menge aller cbn-
Interpretationen zu einer festen Programmsignatur Σ wird mit IntΣ,cbn bezeichnet. Wir schreiben
⊥cbn := ⊥IntΣ,cbn für das kleinste Element der kanonischen Halbordnung 〈IntΣ,cbn, ⊑〉. ✷