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148 KAPITEL 6. UNTERSUCHUNG DER ς-SEMANTIKEN
Definition 6.13 Partielles cbv-Interpretationsmodell
(vgl. mit Def. 6.5 des ς-Interpretationsmodells und Def. 6.6 des cbv-Interpretationsmodells ∗ )
heißt genau dann partielles cbv-Interpretationsmodell eines Programms mit Pattern,
P, wenneine partielle cbv-Interpretation und ein partielles Modell des Programms mit Pattern,
. ✷
P, ist. Wir schreiben IntMod part
P,cbv
:= Intpart
Σ,cbv
∩ Modpart
P
Inspiriert durch die in 6.2 gefundene Charakterisierung des (totalen) cbv-Datentyps, DP,cbv :=
Min 〈AlgΣ ,⊑〉(IntMod ∗ P,cbv), definieren wir den partiellen cbv-Datentyp.
Definition 6.14 Partieller cbv-Datentyp
Das bezüglich der kanonischen Ordnung kleinste partielle cbv-Interpretationsmodell von P,
D part
P,cbv := Min 〈Alg part
Σ ,⊑〉(IntModpart P,cbv ),
heißt partieller cbv-Datentyp des Programms mit Pattern, P. ✷
Diese Definition läßt sich zwar leicht niederschreiben, aber es bleibt die Wohldefiniertheit des partiellen
cbv-Datentyps zu zeigen. Wie bei der deklarativen Definition des cbn-Datentyps müssen
wir beweisen, daß ein kleinstes partielles cbv-Interpretationsmodell überhaupt existiert. Ein direkter
Beweis wäre jedoch aufwendig und würde eine weitergehende Beschäftigung mit der Theorie
partieller Algebren erfordern.
Wir untersuchen daher stattdessen zuerst einen anderen Punkt: Jede der gerade angegebenen Definitionen
ist zwar ihrer jeweils korrespondierenden Definition für totale Algebren ähnlich, aber es
stellt sich doch die Frage, ob die Bezeichnung partieller cbv-Datentyp gerechtfertigt ist.
Um die — selbstverständlich existierende — Beziehung zwischen der totalen und der partiellen cbv-
Semantik eindeutig aufzuzeigen, definieren wir die folgende bijektive Abbildung zwischen totalen
und partiellen cbv-Interpretationen.
Definition 6.15 Die kanonische Abbildung Π
Die kanonische Abbildung zwischen totalen und partiellen cbv-Interpretationen,
ist definiert durch
Π : IntΣ,cbv→Int part
Σ,cbv ,
g Π() (t) := g(t) , falls g(t) = ⊥
g Π() (t) undefiniert , andernfalls
für alle g (n) ∈ Σ, t ∈ (TC) n und∈IntΣ,cbv. ✷
Offensichtlich ist Π() ∈ Int part
Σ,cbv für alle∈IntΣ,cbv, und die kanonische Abbildung ist somit
wohldefiniert. Π ist sowohl injektiv als auch surjektiv, also eine Bijektion. Die daher existierende
inverse Abbildung Π −1 sieht wie folgt aus:
Definition 6.16 Die Inverse der kanonischen Abbildung Π
Die Inverse der kanonischen Abbildung Π zwischen totalen und partiellen cbv-
Interpretationen,
Π −1 : Int part
Σ,cbv →IntΣ,cbv,
ist gegeben durch
g Π−1 () (t) :=
g(t) , falls t ∈ (TC) n und g(t) definiert
⊥ , andernfalls
für alle g (n) ∈ Σ, t ∈ (T⊥ C )n und∈Int part
Σ,cbv . ✷