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90 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
Beweis:
O. B. d. A. seien p und p ′ variablendisjunkt. Aus der semantischen ς-Matchbarkeit folgt gemäß dessen
Definition für alle i ∈ [n]:
pi[⊥/Var(pi)] ✂ t i
[[pi]] alg
⊥ς,β = t = [[p′ i]] alg
⊥ς,β ′
p ′ i[⊥/Var(p ′ i)] ✂ t i
Da nach Lemma 5.14 semantische Unifikation syntaktische Unifikation impliziert, existieren für alle
i ∈ [n]
mit
σi : Var(pi)→TC(Var(pi) ˙∪ Var(p ′ i))
σ ′ i : Var(p ′ i)→TC(Var(p) ˙∪ Var(p ′ i))
ˆβi : (Var(pi) ˙∪ Var(p ′ i))→TC,ς
piσi = p ′ iσ′ i
βi(x) = [[xσi]] alg
⊥ς, ˆ βi
β ′ i (x) = [[xσ′ i ]]alg
⊥ς, ˆ βi
Wie im Beweis von Lemma 5.14 können wir nun
definieren, und es gilt:
σ := ˙
σi, σ ′ := ˙
i∈[n]
i∈[n]
für alle x ∈ Var(pi)
für alle x ∈ Var(p ′ i )
σ ′ i und ˆ β := ˙
i∈[n]
f(p1, . . . , pn)σ = f(p1σ1, . . .,pnσn) = f(p ′ 1σ ′ 1, . . .,p ′ nσ ′ n) = f(p ′ 1, . . .,p ′ n)σ ′
β(x) = [[xσ]] alg
⊥ς, ˆ β
β ′ (x) = [[xσ ′ ]] alg
⊥ς, ˆ β
ˆβi
für alle x ∈ Var(p)
für alle x ∈ Var(p ′ )
Aus (1) folgt mit der Eindeutigkeitsbedingung beinahe orthogonaler Termersetzungssysteme
rσ = rσ ′
Sei∈IntΣ,ς eine beliebige ς-Interpretation. Da für alle x ∈ Var(p) xσ ∈ TC(Var(p) ∪ Var(p ′ ))
und für alle x ∈ Var(p ′ ) xσ ∈ TC(Var(p) ∪ Var(p ′ )), gilt offensichtlich
∀x ∈ Var(p). [[xσ]] alg
⊥ς, ˆ β
= [[xσ]]alg
, ˆ β
∀x ∈ Var(p ′ ). [[xσ ′ ]] alg
⊥ς, ˆ β = [[xσ′ ]] alg
, ˆ β
Weil r, r ′ ∈ TΣ(Var(p) ˙∪ Var( p ′ )), folgt aus (2) und (4) mit Lemma 4.2 über Substitution und
algebraische Semantik
Insgesamt gilt somit
[[r]] alg
,β =
[[rσ]] alg
, ˆ und [[r
β ′ ]] alg
,β ′ = [[r ′ σ ′ ]] alg
, ˆ β
[[r]] alg (5) alg
= [[rσ]] ,β , ˆ (3) ′ ′ alg
= [[r σ ]]
β , ˆ (5) ′ alg
= [[r ]]
β ,β ′
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
✷