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4.2. DIE CBV-SEMANTIK 53
Beispiel 4.3 Verzweigung und innermost Redexstellen
add(x,y) → condSucc(y, Succ(add(x, selSucc,1(y))), x)
Bei Verwendung der leftmost-innermost ∗ Reduktion ergibt sich
add(Zero,Zero) −−→
P,li ∗
−−→
P,li ∗
−−→
P,li ∗
condSucc(Zero, Succ(add(Zero, selSucc,1(Zero))), Zero)
condSucc(Zero, Succ(
eine unendliche Reduktionsfolge. Demnach wäre
condSucc(selSucc,1(Zero),
Succ(add(Zero, selSucc,1(selSucc,1(Zero)))), Zero)
,Zero)
...
[[add(Zero,Zero)]] li∗
P = ⊥.
Erst bei Verwendung der li-Reduktion erhält man mit
add(Zero,Zero) −−→
P,li cond Succ(Zero,Succ(add(Zero, selSucc,1(Zero))),Zero) −−→
P,li Zero
das gewünschte Ergebnis. ✷
Da in Funktionsschemata Funktionen immer vollständig spezifiziert sind — zu jedem Funktionssymbol
existiert genau eine Regel — , kommt unsere erste Abweichung dort gar nicht zum Tragen. Weil
in Funktionsschemata unsere Verzweigungen überlicherweise zum Basisdatentyp gehören würden,
für den keine ” normalen“ Reduktionsregeln existieren, fällt auch der zweite Punkt erst bei Betrachtung
unserer Programme mit Hilfsfunktionen auf. Nur [Cou90] definiert auch eine Verzweigung
if-then-else-fi mit fester Bedeutung und verwendet daher eine ähnliche Definition wie wir.
Bemerkung 4.1: Innermost Redexe und Redexstellen
Wir haben (leftmost-)innermost Redexstellen, jedoch keine (leftmost-)innermost Redexe eines
Terms definiert. Wir haben auf die Definition der letzteren verzichtet, da sich der intendierte
leftmost-innermost Redex gar nicht korrekt definieren läßt. Bezeichnen wir nämlich den an der
leftmost-innermost Redexstelle in einem Term t befindlichen Redex ˆ l als leftmost-innermost Redex,
so entsteht folgendes Problem: genau der gleiche Redex kann noch an anderen Stellen in t
auftauchen. Dort soll er aber kein li-Redex sein.
In einem Term t = f(g(A),g(A)) soll beispielsweise der Teilterm t/1 = g(A) ein li-Redex sein, nicht
jedoch der Teilterm t/2.
Das gleiche Problem taucht auch beim outermost Redex auf, der an einer anderen Stelle auch
Teilterm eines Redexes sein kann; ebenso beim lo-Redex. Daher werden wir in 4.3.2 auch nur
(leftmost-)outermost Redexstellen definieren.
Nur ein innermost Redex ließe sich tatsächlich sinnvoll definieren, da diese Eigenschaft nur von
dem Redex selber und nicht von seiner Stellung in einem Term abhängt. ✷
Wir wollen uns nun noch einmal das Programm aus Beispiel 3.6, S. 45, anschauen, dessentwegen
wir die Normalformsemantik zurückgewiesen haben.