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76 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
Die erzwungene Striktheit für die erste Argumentstelle der Verzweigungs- und die Argumentstelle
der Selektionssymbole kann eigentlich beliebig sein, da diese Operationen schon aufgrund der
zughörigen Reduktionsregeln an diesen Stellen strikt sind.
In Übereinstimmung mit den bisherigen Definitionen des Rechenbereichs ist TC,cbv = T ⊥ C und
TC,cbn = T∞ C,⊥ . Wie wir gesehen haben sind dies die beiden extremen möglichen Rechenbereiche.
Ganz generell stellt cbv allerdings kein Extrem der erzwungenen Striktheit dar. Die Verzweigungssymbole
sind an der 2. und 3. Argumentstelle immer noch nicht-strikt. Aber wir haben schon in
4.2.1 festgestellt, daß völlig strikte Verzweigungen nicht mehr sinnvoll einsetzbar wären.
In der ς-Fixpunktsemantik zeigt sich die Bedeutung der erzwungenen Striktheit ς.
5.2 Die ς-Fixpunktsemantik
5.2.1 Definition der ς-Fixpunktsemantik
Die Definition der ς-Fixpunktsemantik erfolgt völlig analog zur cbv- und cbn-Fixpunktsemantik.
In der ς-Interpretation werden die möglichen Striktheiten aller Operationen entsprechend der erzwungenen
Striktheit eingeschränkt.
Definition 5.4 ς-Interpretation
Sei 〈TC,ς, ✂〉 die ω-vollständige Halbordnung des Rechenbereichs. Sei
α :
Σn→[(TC,ς) n →TC,ς]
n∈IN
eine Zuordnungsfunktion von ω-stetigen Operationen an die Operationssymbole mit
α(G)(t 1, . . .,t n) = G(t 1, . . .,t n) , wenn G nicht erzwungen strikt für t ist
für alle G (n) ∈ C, t 1, . . .,t n ∈ TC,ς, und
α(g)(t 1, . . . , t n) = ⊥ , wenn g erzwungen strikt für t ist,
für alle g (n) ∈ Σ und t 1, . . .,t n ∈ TC,ς.
Eine ω-vollständige Σ-Algebra 〈TC,ς, ✂, α〉 heißt ς-Interpretation.
Die Menge aller ς-Interpretationen zu festem ς und Σ wird mit IntΣ,ς bezeichnet. 〈IntΣ,ς, ⊑〉 ist die
kanonische Halbordnung aller ς-Interpretationen. ✷
Man versichere sich, daß die Spezialfälle der cbv- und der cbn-Interpretation genau mit unseren
früher gegebenen Definitionen 4.3, S. 55, respektive 4.7, S. 65, übereinstimmen.
Auch die ς-Transformation wird analog zu den cbv- und cbn-Semantiken definiert. Da das semantische
Patternmatching jetzt jedoch komplizierter ist, definieren wir zuerst den Begriff des
semantischen ς-Matchens, den wir dann direkt bei der ς-Transformation einsetzen.
Definition 5.5 Semantisches ς-Matchen
Ein Termtupel t ∈ (TC,ς) n heißt genau dann mit einem Redexschema f (n) (p) ∈ RedSP vermittels
einer Variablenbelegung β : Var(p)→TC,ς semantische ς-matchbar, wenn
∀i ∈ [n]. (ς(f)(i) = tt ⇒ t i = ⊥)
∧ pi[⊥/Var(pi)] ✂ t i
∧ [[pi]] alg
⊥ς,β = t i
✷