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7.4. BEMERKUNGEN ZUR SEQUENTIALITÄT 165
Da die Abbildungen ϕi sequentiell sind, sind die Mengen Ui = ∅.
Aufgrund der Ordnung der Abbildungen gilt für alle k ≥ i ≥ j und t ′ ☎t
ϕi( t ′ )/u ′ = ⊥ =⇒ ϕk( t ′ )/u ′ = ⊥.
Dies bedeutet, daß für alle i ≥ j ein Sequentialitätsindex ui+1 von ϕi+1 für t bezüglich u ′
auch ein Sequentialitätsindex von ϕi für t bezüglich u ′ ist, kurz:
Somit ist U :=
i≥j Ui = ∅.
Uj ⊇ Uj+1 ⊇ Uj+2 ⊇ . . .
ϕ ist sequentiell, weil U die Menge der Sequentialitätsindexe von ϕ für t bezüglich u ′ ist,
denn:
Sei u ∈ U. Dann gilt für alle i ≥ j
∀ t ′ ☎t. (ϕi( t ′ )/u ′ = ⊥ =⇒ t ′ /u = ⊥),
da u ∈ Ui. Sei nun t ′ ☎ t mit ϕ( t ′ )/u ′ = ⊥. Da ϕ( t ′ ) =
i∈IN ϕi( t ′ ), muß ein i ≥ j mit
ϕi(t)/u ′ = ⊥ existieren. Damit ist dann auch t ′ /u = ⊥.
2. Folgt direkt aus 1.
Lemma 7.10 Sequentialität des ς-Datentyps eines Programms mit Hilfsfunktionen
Sei P ein Programm mit Hilfsfunktionen. Dann ist der ς-Datentyp DP,ς sequentiell.
Beweis:
Es ist
DP,ς = D fix
P,ς =
i∈IN
(ΦP,ς) i (⊥ς).
Nach Korollar 7.6 ist die kleinste ς-Interpretation ⊥ς sequentiell. Mit Lemma 7.8 über den Erhalt
der Sequentialität bei der ς-Transformation für Programme mit Hilfsfunktionen folgt die Sequentialität
der ς-Interpretationeni := (ΦP,ς) i (⊥ς) für alle i ∈ IN. Aufgrund der Monotonie der
ς-Transformation gemäß Lemma 5.20, S. 95, bilden diei eine ω-Kette, und mit Lemma 7.9 folgt
schließlich, daß die kleinste obere Schranke dieser ω-Kette, DP,ς, sequentiell ist. ✷
Hiermit haben wir bewiesen, daß Programme mit Pattern echt ausdrucksstärker als Programme mit
Hilfsfunktionen sind. Es ist zu beachten, daß dies kein Widerspruch zu den Aussagen in 7.1 über die
Berechnungsstärke der Programme ist, da dort die spezifizierten Operationen nur über den Konstruktorgrundtermen
TC betrachtet wurden, während die Sequentialität die gesamte Halbordnung
des Rechenbereichs, 〈TC,ς, ✂〉, mit einbezieht.
7.4 Bemerkungen zur Sequentialität
Die Sequentialität ist eine zwar komplexe, aber auch sehr interessante Eigenschaft von Abbildungen.
So steht sie in engem Zusammenhang mit der Striktheit und kann als Verallgemeinerung dieser
aufgefaßt werden.
✷