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5.2. DIE ς-FIXPUNKTSEMANTIK 91
Für die nächsten, aber auch für spätere Beweise benötigen wir die ω-Stetigkeit der algebraischen
Semantik sowohl bezüglich der Algebra als auch der Variablenbelegung als Parameter.
Lemma 5.16 ω-Stetigkeit der algebraischen Termsemantik bzgl. der Algebra
Sei Σ eine Signatur und 〈A, ≤〉 eine ω-vollständige Halbordnung. Sei I ⊆ Alg ∞ Σ,⊥(〈A, ≤〉), so daß
die kanonische Halbordnung 〈I, ⊑〉 ω-vollständig ist. Seien t ∈ TΣ(X) und β : X→A.
Dann ist die algebraische Termsemantik [[t]] alg
·,β : I→A eine ω-vollständige Abbildung bezüglich der
Algebra aus I.
Beweis:
Sei K ⊆ I eine ω-Kette. Wir zeigen durch strukturelle Induktion über t ∈ TΣ(X), daß
existiert, und
ist.
t = x: (x ∈ X).
Es ist
e := {[[t]] alg
,β |∈K}
e = [[t]] alg
⊔K,β
T := {[[x]] alg
,β |∈K}
= {β(x) |∈K}
= {β(x)}
Somit existiert T und es ist T = β(x) = [[x]] alg
⊔K,β
t = f(t1, . . .,tn): (f (n) ∈ Σ).
Es gilt:
[[f(t1, . . .,tn)]] alg
⊔K,β
(Def. der alg. Semantik) = f ⊔K (([[t1]] alg
⊔T,β
, . . .,[[tn]] alg
⊔T,β )
= (( {α | 〈A, ≤, α〉 ∈ K})(f))(. . .)
(ω-Vollst. von 〈Σn→Ops n, 〉) = ( {f|∈K})(. . .)
(ω-Vollst. von 〈[A n →A], 〉) = {f(. . .) |∈K}
(I.V.) = {f( {[[t1]] alg
1,β |1 ∈ K}, . . .) |∈K}
(ω-Stet. der f∈ Ops n) = {f([[t1]] alg
1,β
= T1
wobei T1 := {f([[t1]] alg alg
1,β , . . .,[[tn]] n,β ) |,1, . . .,n ∈ K}.
Außerdem ist
, . . .,[[tn]] alg
n,β ) |,1, . . .,n ∈ K}
T2 := {[[f(t1, . . .,tn)]] alg
= {f([[t1]] ,β alg
, . . .,[[tn]] ,β alg
) |∈K} ,β
Sei nun e1 = f([[t1]] alg alg
1,β , . . .,[[tn]] n,β ) |∈K} ∈ T1 beliebig. Da K eine ω-Kette ist, existiert
′ ∈ I mit {,1, . . .,n} ≤′ . Nach Induktionsvoraussetzung ist die algebraische Semantik