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46 KAPITEL 3. DIE PROGRAMME
Definition 3.8 Grundtermsemantik
Sei A eine beliebige nicht-leere Menge. Dann heißt eine Abbildung [[·]] : TΣ → A Grundtermsemantik,
falls sie invariant ist, d. h.
[[t ′ ]] = [[t ′′ ]] =⇒ [[t[t ′ /x]]] = [[t[t ′′ /x]]]
für alle t ′ , t ′′ ∈ TΣ und t ∈ TΣ({x}) mit x ∈ X. ✷
Basierend auf einer solchen Grundtermsemantik kann dann eine semantische Gleichheit definiert
werden.
Definition 3.9 Semantische Gleichheit zu einer Grundtermsemantik
Sei [[·]] : TΣ→A eine Grundtermsemantik. Dann ist die semantische Gleichheit zu der Grundtermsemantik
[·] die durch
t ∼ [·] t ′ ⇐⇒ [[t]] = [[t ′ ]]
für alle t, t ′ ∈ TΣ definierte Relation ∼ [·]⊆ TΣ × TΣ. ✷
Natürlich kann eine derartige Relation ∼ zu jeder beliebigen Abbildung ϕ : TΣ→A definiert werden.
Aber aufgrund der Invarianz der Grundtermsemantik ist die semantische Gleichheit eine Kongruenz
und Leibnitz’ Gesetz des Ersetzens von Gleichem durch Gleiches gilt, d. h.
t ′ ∼ [·] t ′′ =⇒ t[t ′ /x] ∼ [·] t[t ′′ /x]
für alle t ′ , t ′′ ∈ TΣ und t ∈ TΣ({x}), wie wir es von einer ” Gleichheit“ erwarten.
Lemma 3.2 Kongruenzeigenschaft der semantischen Gleichheit
Die Semantische Gleichheit ∼ [·] zu einer Grundtermsemantik [[·]] ist eine Kongruenz.
Beweis:
Reflexivität, Symmetrie und Transitivität von ∼ [·] sind trivialerweise gegeben. Natürlich ist ∼ [·]
genau dann invariant (abgeschlossen unter Kontextbildung), wenn die Abbildung [[·]] invariant ist.
✷
Um im weiteren die Invarianz einer gegebenen Abbildung [[·]] : TΣ→A leichter überprüfen zu können,
sei hier die folgende einfachere, äquivalente Definition der Invarianz angegeben.
Lemma 3.3 Charakterisierung der Invarianz
Eine Abbildung [[·]] : TΣ→A ist genau dann invariant, wenn
[[t ′ ]] = [[t ′′ ]] =⇒ [[g(s1, . . .,si−1, t ′ , si+1, . . .,sn)]] = [[g(s1, . . .,si−1, t ′′ , si+1, . . .,sn)]]
für alle t ′ , t ′′ , s1, . . . , sn ∈ TΣ, g (n) ∈ Σ, i ∈ [n].
Beweis:
⇒: Es ist klar, daß die obige Eigenschaft erfüllt ist, wenn [[·]] invariant ist.
⇐: Seien t ′ , t ′′ ∈ TΣ mit [[t ′ ]] = [[t ′′ ]].
t = x: (x ∈ X).
[[t[t ′ /x]]] = [[t ′ ]] = [[t ′′ ]] = [[t[t ′′ /x]]].