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114 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
[[·]] po
P,ς [[·]]fix P,ς.
Beweis:
Sei t ∈ TΣ und t ′ ∗
∈ TΣ mit t −−→ t ς ′ .
Nach Satz 5.33, S. 113, über die Korrektheit einer ς-Reduktionsfolge in der ς-Fixpunktsemantik ist
[[t]] fix
P,ς = [[t ′ ]] fix
P,ς.
Es gilt ⊥ς ⊑ Dfix P,ς , und mit der Monotonie der algebraischen Termsemantik bezüglich der Algebra
gemäß Lemma 5.16, S. 91, folgt
Insgesamt gilt
und somit ist [[t]] fix
P,ς
und es folgt
eine obere Schranke für
[[t ′ ]] alg
⊥ς ✂ [[t′ ]] alg
Dfix = [[t
P,ς
′ ]] fix
P,ς.
[[t ′ ]] alg
⊥ς
Tred := {[[t ′ ]] alg
⊥ς
Tpo := {[[t ′ ]] alg
⊥ς
✂ [[t]]fix
P,ς,
| t
| t
∗
−−→ t ς ′ } und
∗
−−→ t po,ς ′ }
[[t]] red
P,ς = Tred [[t]] fix
P,ς ,
[[t]] po
P,ς = Tpo [[t]] fix
P,ς .
Lemma 5.35 Korrektheit der po- bezüglich der allgemeinen ς-Reduktionssemantik
Beweis:
Sei t ∈ TΣ. Es ist
und somit
{[[t ′ ]] alg
⊥ς
{t ′ | t
| t
[[·]] po
P,ς [[·]]red P,ς
∗
−−→ po,ς t ′ } ⊆ {t ′ ∗
| t −−→ ς t ′ },
∗
−−→ po,ς t ′ } ⊆ {[[t ′ ]] alg ∗
| t −−→
⊥ς ς t ′ }.
Mit Lemma 2.1, S. 12, über Kofinalität und kleinste obere Schranken folgt
Wir wissen nun
[[t]] po
P,ς = {[[t ′ ]] alg
| t ⊥ς
∗
−−→ po,ς t ′ } ✂ {[[t ′ ]] alg
| t ⊥ς
[[·]] po
P,ς [[·]]red P,ς [[·]] fix
P,ς.
∗
−−→ ς t ′ } = [[t]] red
P,ς.
Mit einem Beweis von [[·]] fix
P,ς [[·]]po P,ς ließe sich der Kreis schließen, und die Übereinstimmung aller
Grundtermsemantiken wäre bewiesen. Leider erweist sich ein solcher Beweis als äußerst problematisch.
Daher beweisen wir stattdessen [[·]] fix
P,ς [[·]]red P,ς und [[·]]red P,ς [[·]]po P,ς . Da auch diese Beweise
aufwendig sind, führen wir sie in 5.5.2 respektive 5.5.3 separat auf, und halten hier schon fest:
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