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86 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
5.2.4 Die Wohldefiniertheit
Hier zeigen wir endlich, daß die ς-Fixpunktsemantik — und somit auch insbesondere die in Kapitel
4 definierte cbv- und cbn-Fixpunktsemantik — wohldefiniert ist. Die Beweise der Wohldefiniertheit
bestehen im einzelnen aus denen, die die ς-Interpretationen, die ω-Vollständigkeit der kanonischen
Halbordnung der ς-Interpretationen, 〈IntΣ,ς, ⊑〉, und die die ς-Transformation betreffen.
Für die Wohldefiniertheit der ς-Interpretation müssen wir zeigen, daß die festgelegten Konstruktoroperationen
auch ω-stetig sind. Andernfalls würde überhaupt keine ς-Interpretation existieren.
Dafür benötigen wir jedoch zuerst folgendes Hilfslemma.
Lemma 5.11 ω-Stetigkeit der erzwungenen Striktheit
Sei g (n) ∈ Σ, T = (t j)j∈IN eine ω-Kette mit t i,j ∈ TC,ς und t = T.
Das Operationssymbol g ist genau dann erzwungen strikt für t, wenn g für alle t j ∈ T erzwungen
strikt ist.
Beweis:
Fall 1: g ist erzwungen strikt für t.
Demnach existiert ein i ∈ [n] mit ς(g)(i) = tt und t i = ⊥. Da t i =
j∈IN t i,j, ist auch für alle
j ∈ IN t i,j = ⊥. Somit ist g auch für alle t j ∈ T erzwungen strikt.
Fall 2: g ist nicht erzwungen strikt für t.
Also ist für alle i ∈ [n] mit ς(g)(i) = tt t i = ⊥. Sei i ′ ∈ [n] mit ς(g)(i ′ ) = tt. Da t i ′ =
j∈IN t i ′ ,j,
existiert ki ′ ∈ IN mit t i ′ ,j = ⊥ für alle j ≥ ki ′. Somit gilt für alle j ≥ k := max{ki ′ | i′ ∈
[n], ς(g)(i ′ ) = tt}:
∀i ∈ [n]. (ς(g)(i) = tt ⇒ t i,j = ⊥),
d. h. g ist nicht erzwungen strikt für alle t j ∈ T mit j ≥ k.
Lemma 5.12 ω-Stetigkeit der Konstruktoroperationen der ς-Interpretationen
Die in den ς-Interpretationen definierten Operationen der Konstruktorsymbole sind ω-stetig.
Beweis:
Sei G (n) ∈ C. Sei T = (t j)j∈IN eine ω-Kette mit t i,j ∈ TC,ς undt = T. Seieine ς-Interpretation.
Fall 1: G ist erzwungen strikt für t
Nach Lemma 5.11 über die ω-Stetigkeit der erzwungenen Striktheit ist G dann auch für alle
t j ∈ T erzwungen strikt. Somit gilt
G(T) = {⊥} = ⊥ = G( T)
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