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5.2. DIE ς-FIXPUNKTSEMANTIK 93
[[f(t1, . . .,tn)]] alg
,⊔K
= f([[t1]] alg
,⊔K ,
(I.V.) = f( {[[t1]] alg
,β1 |
(ω-Stetigkeit von f∈ Ops n) = {f([[t1]] alg
,β1 ,
= T1
wobei T1 := {f([[t1]] alg
, . . . , [[tn]] ,β1 alg
) | β1, . . .,βn ∈ K}. ,βn
Außerdem ist
. . .,[[tn]] alg
,⊔K
β1 ∈ K}, . . .)
. . .,[[tn]] alg
) | β1, . . . , βn ∈ K} ,βn
T2 := {[[f(t1, . . .,tn)]] alg
| β ∈ K} = {f([[t1]] ,β alg
, . . .,[[tn]] ,β alg
) | β ∈ K} ,β
Sei nun e1 := f([[t1]] alg
, . . .,[[tn]] ,β1 alg
) ∈ T1 beliebig. Da K eine ω-Kette ist, existiert β ,βn ′ ∈
(Y →A) mit {β1, . . .,βn} ≤ β ′ .
Nach Induktionsvoraussetzung ist die algebraische Semantik der Teilterme t1, . . .,tn ω-stetig
und somit auch monoton bezüglich der Variablenbelegung, d. h. es gilt:
[[t1]] alg
≤ [[t1]] ,β1 alg
,β ′, . . .,[[tn]] alg
≤ [[tn]] ,βn alg
,β ′
Zusammen mit der Monotonie der Operationen ffolgt:
Es ist e2 ∈ T2.
e1 ≤ f([[t1]] alg
,β ′, . . .,[[tn]] alg
,β ′) =: e2
Somit ist T1 kofinal in T2. Außerdem ist T2 kofinal in T1, da T2 ⊆ T1. Nach Lemma 2.1, S. 12,
über Kofinalität und kleinste obere Schranken existiert damit T2 und es ist
T2 = T1 = [[f(t1, . . .,tn)]] alg
,⊔K
Eine Abbildung ϕ : An→A zu t ∈ TΣ({x1, . . .,xn}) und=〈A, ≤, α〉 ∈ Alg ∞ Σ,⊥(〈A, ≤〉), definiert
durch
ϕ(a1, . . .,an) := [[t]] alg
mit β(xi) := ,β
ai für alle i ∈ [n]
wird auch abgeleitete Operation (derived operation) genannt. Wir haben gerade bewiesen, daß
abgeleitete Operationen genauso wie Operationen ω-stetig sind.
Wir zeigen nun, daß die durch die ς-Transformation definierten Funktions- und Hilfsoperationen ωstetig
sind. Daraus folgt direkt, daß das Ergebnis einer ς-Transformation immer eine ς-Interpretation
ist. Zum Schluß beweisen wir die ω-Stetigkeit der ς-Transformation.
Auf diese Weise ist dann insgesamt bewiesen, daß ΦP,ς wirklich von dem angegebenen Typ
[IntΣ,ς →IntΣ,ς] ist.
Lemma 5.18 ω-Stetigkeit der Funktions- und Hilfssymboloperationen nach einer
ς-Transformation
Sei∈IntΣ,ς und′ := ΦP,ς(). Sei f ∈ F( ˙∪ H).
Dann ist f′
ω-stetig.
✷