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5.2. DIE ς-FIXPUNKTSEMANTIK 93<br />

[[f(t1, . . .,tn)]] alg<br />

,⊔K<br />

= f([[t1]] alg<br />

,⊔K ,<br />

(I.V.) = f( {[[t1]] alg<br />

,β1 |<br />

(ω-Stetigkeit von f∈ Ops n) = {f([[t1]] alg<br />

,β1 ,<br />

= T1<br />

wobei T1 := {f([[t1]] alg<br />

, . . . , [[tn]] ,β1 alg<br />

) | β1, . . .,βn ∈ K}. ,βn<br />

Außerdem ist<br />

. . .,[[tn]] alg<br />

,⊔K<br />

β1 ∈ K}, . . .)<br />

. . .,[[tn]] alg<br />

) | β1, . . . , βn ∈ K} ,βn<br />

T2 := {[[f(t1, . . .,tn)]] alg<br />

| β ∈ K} = {f([[t1]] ,β alg<br />

, . . .,[[tn]] ,β alg<br />

) | β ∈ K} ,β<br />

Sei nun e1 := f([[t1]] alg<br />

, . . .,[[tn]] ,β1 alg<br />

) ∈ T1 beliebig. Da K eine ω-Kette ist, existiert β ,βn ′ ∈<br />

(Y →A) mit {β1, . . .,βn} ≤ β ′ .<br />

Nach Induktionsvoraussetzung ist die algebraische Semantik der Teilterme t1, . . .,tn ω-stetig<br />

und somit auch monoton bezüglich der Variablenbelegung, d. h. es gilt:<br />

[[t1]] alg<br />

≤ [[t1]] ,β1 alg<br />

,β ′, . . .,[[tn]] alg<br />

≤ [[tn]] ,βn alg<br />

,β ′<br />

Zusammen mit der Monotonie der Operationen ffolgt:<br />

Es ist e2 ∈ T2.<br />

e1 ≤ f([[t1]] alg<br />

,β ′, . . .,[[tn]] alg<br />

,β ′) =: e2<br />

Somit ist T1 kofinal in T2. Außerdem ist T2 kofinal in T1, da T2 ⊆ T1. Nach Lemma 2.1, S. 12,<br />

über Kofinalität und kleinste obere Schranken existiert damit T2 und es ist<br />

T2 = T1 = [[f(t1, . . .,tn)]] alg<br />

,⊔K<br />

Eine Abbildung ϕ : An→A zu t ∈ TΣ({x1, . . .,xn}) und=〈A, ≤, α〉 ∈ Alg ∞ Σ,⊥(〈A, ≤〉), definiert<br />

durch<br />

ϕ(a1, . . .,an) := [[t]] alg<br />

mit β(xi) := ,β<br />

ai für alle i ∈ [n]<br />

wird auch abgeleitete Operation (derived operation) genannt. Wir haben gerade bewiesen, daß<br />

abgeleitete Operationen genauso wie Operationen ω-stetig sind.<br />

Wir zeigen nun, daß die durch die ς-Transformation definierten Funktions- und Hilfsoperationen ωstetig<br />

sind. Daraus folgt direkt, daß das Ergebnis einer ς-Transformation immer eine ς-Interpretation<br />

ist. Zum Schluß beweisen wir die ω-Stetigkeit der ς-Transformation.<br />

Auf diese Weise ist dann insgesamt bewiesen, daß ΦP,ς wirklich von dem angegebenen Typ<br />

[IntΣ,ς →IntΣ,ς] ist.<br />

Lemma 5.18 ω-Stetigkeit der Funktions- und Hilfssymboloperationen nach einer<br />

ς-Transformation<br />

Sei∈IntΣ,ς und′ := ΦP,ς(). Sei f ∈ F( ˙∪ H).<br />

Dann ist f′<br />

ω-stetig.<br />

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