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5.2. DIE ς-FIXPUNKTSEMANTIK 89
Aus
folgt
und
Außerdem folgt mit (1):
[[p ′ ]] alg
⊥ς, ˆ = [[p]]alg
β ′ ⊥ς, ˆ (5)
= G(t1, . . .,t
β
n)
p ′ = G(p ′ 1, . . .,p ′ n)
∀i ∈ [n]. [[p ′ 1]] alg
⊥ς, ˆ β = t i
∀i ∈ [n]. pi[⊥/Var(pi)] ✂ t i
Aufgrund von (4), (8), (6) und (7) läßt sich die Induktionsvoraussetzung anwenden. Für alle
i ∈ [n] existieren
mit
σi : Var(pi)→TC(Var(pi) ˙∪ Var(p ′ i))
σ ′ i : Var(p ′ i)→TC(Var(p) ˙∪ Var(p ′ i))
ˆβi : (Var(pi) ˙∪ Var(p ′ i))→TC,ς
piσi = p ′ iσ′ i
βi(x) = [[xσi]] alg
⊥ς, ˆ βi
β ′ i (x) = [[xσ′ i ]]alg
⊥ς, ˆ βi
für alle x ∈ Var(pi)
für alle x ∈ Var(p ′ i )
Aufgrund der Linearität der Pattern und der Variablendisjunktheit von p und p ′ können wir
nun definieren:
˙
σ :=
und es gilt
σ ′
:=
ˆβ :=
σi : Var(p)→TC(Var(p) ˙∪ Var(p ′ ))
i∈[n]
˙
σ ′ i : Var(p ′ )→TC(Var(p) ˙∪ Var(p ′ ))
i∈[n]
˙
i∈[n]
(Var(p) ˙∪ Var(p ′ ))→TC,ς
pσ = G(p1σ1, . . .,pnσn) = G(p ′ 1σ ′ 1, . . .,p ′ nσ ′ n) = p ′ σ ′
∀i ∈ [n]. ∀x ∈ Var(pi). β(x) = βi(x) = [[xσ]] alg
⊥ς, ˆ βi
∀i ∈ [n]. ∀x ∈ Var(p ′ i ). β′ (x) = β ′ i (x) = [[xσ′ ]] alg
⊥ς, ˆ βi
= [[xσ]] alg
⊥ς, ˆ β
= [[xσ ′ ]] alg
⊥ς, ˆ β
Lemma 5.15 Eindeutige Definiertheit der Funktions- und Hilfsoperationen in der
ς-Transformation
Sei n ∈ IN. Wird das Termtupel t ∈ (TC,ς) n mit der linken Seite einer Reduktionsregel
f(p1, . . .,pn)→r von einer Variablenbelegung β : Var(p)→TC,ς und mit der linken Seite einer Reduktionsregel
f(p ′ 1 , . . .,p′ n)→r ′ von einer Variablenbelegung β ′ : Var(p ′ )→TC,ς semantisch ς-gematcht,
dann ist für beliebige Interpretationen∈IntΣ,ς:
[[r]] alg
= [[r ,β ′ ]] alg
,β
(7)
(8)
✷