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4.2. DIE CBV-SEMANTIK 51
Call-by-name Auswertung:
head(liste1) −−→
P
head([] : liste1) −−→ []
P
Sowohl im Rahmen der Funktionsschemata ([Ind93], [Ind94]) als auch in dem des λ-Kalküls 1
([Fie&Har88], Kapitel 6) werden die beiden Auswertungsmechanismen jeweils mit den Reduktionsstrategien
leftmost-innermost ∗2 und leftmost-outermost gleichgesetzt. Hierbei heißt ein Redex
eines Terms genau dann innermost£, wenn er keinen Redex als echten Teilterm enthält, und outermost,
wenn er selbst kein echter Teilterm eines Redexes des Terms ist. Der leftmost Redex
einer Menge von Redexen eines Terms ist dann der Redex, dessen Stelle die bezüglich der lexikographischen
Ordnung kleinste Stelle all der Redexe der Menge ist. Bei der leftmost-innermost£
Reduktionsstrategie wird in jedem Reduktionsschritt der leftmost-innermost ∗ Redex reduziert,
und bei der leftmost-outermost Reduktionsstrategie entsprechend der leftmost-outermost Redex.
In obigem Beispiel erfolgt die call-by-value Auswertung mit leftmost-innermost Reduktion und
die call-by-name Auswertung mit leftmost-outermost Reduktion.
Wir wollen nun auf Basis dieser beiden Auswertungsmechanismen zwei Semantiken für unsere
Programme definieren.
4.2 Die cbv-Semantik
4.2.1 Die li-Reduktionssemantik
Da die cbv-Semantik im allgemeinen mit der leftmost-innermost Reduktionsstrategie assoziiert
wird, definieren wir diese für unsere Programme.
Definition 4.1 Leftmost-innermost (li-) Reduktion
Sei t ∈ TΣ.
• Die Stelle u ∈ Occ(t) eines Redexes ˆ l = t/u ∈ RedP von t heißt genau dann innermost
Redexstelle des Terms t, wenn
• ˆ l = f(c1, . . .,cn) mit f (n) ∈ F, c1, . . .,cn ∈ TC, oder
• ˆ l = selG,i(c) mit selG,i ∈ H, c ∈ TC, oder
• ˆ l = condG(c, t1, t2) mit condG ∈ H, c ∈ TC, t1, t2 ∈ TΣ ist.
• Die bezüglich der lexikographischen Ordnung kleinste innermost Redexstelle von t heißt
leftmost-innermost Redexstelle des Terms t.
u
• Eine Reduktion A = t −−→ t
l→r ′ heißt genau dann leftmost-innermostReduktion, wenn u
die li-Redexstelle von t ist. Hierdurch ist auch die leftmost-innermost Reduktionsstrategie
−−→
Èli definiert.
1
Im λ-Kalkül wird allerdings normalerweise nur die Reduktion bis zur sogenannten weak head-normal form
betrachtet.
2
Wir markieren hier den Begriff innermost mit einem ∗, da wir im folgenden innermost etwas von dem in der
Literatur verwendeten Begriff abweichend definieren werden. Wir gehen an entsprechender Stelle noch hierauf ein.
✷
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