Download (1405Kb)

5.5. ÜBEREINSTIMMUNG DER DREI ς-SEMANTIKEN 125
ti+1
ˆPi+1
−−→ ˆsi+1 wird gemäß Korollar 5.42 in eine outermost und eine non-outermost I-Reduktion
R,I
ti+1 Pi+1
−−→
R,o,I si+1
ˆPi+1\Pi
−−−−→
R,no,I ˆsi+1 zerlegt.
Man beachte, daß ˆsi+1 Vi+1\ ˆPi+1
−−−−→ t
R,I
′ i+1 , weil ˆ Pi+1 ⊆ Vi+1. ✷
Lemma 5.44 Konvergenz in der eventually outermost Hilfskonstruktion
U1 −−→
U2 −−→ . . . eine I-Reduktionsfolge
Sei RedR,I residual abgeschlossen und outer. Sei A = t1
V1
und B = t1 −−→ t
R,I
′ 1 eine I-Reduktion. Sei die eventually outermost Hilfskonstruktion zu A nach B
mit den in Definition 5.17 verwendeten Bezeichnern gegeben.
Dann existiert ein l > 1 mit si = ti und Ui = Qi für alle i ≥ l.
Beweis:
Nach Definition der eventually outermost Hilfskonstruktion ist P1 = {p1, . . . , pn} ⊆ OuterR,I(t1).
Da A eventually outermost ist, existiert zu jedem pj ein lj > 1, so daß pj in tlj eliminiert wird.
Wir zeigen nun für alle i ∈ IN+:
Pi = {pj ∈ P1 | lj > i}.
i = 1: Da lj > 1, ist P1 = {pj ∈ P1 | lj > 1}.
i ⇒ i + 1: Nach Definition ist
R,I
t2
Pi+1 = (Pi \ Ui) ∩ OuterR,I(ti+1).
Es folgt zusammen mit der Induktionsvoraussetzung
Wir betrachten alle pj ∈ Pi:
Pi+1 ⊆ Pi = {pj ∈ P1 | lj > i}.
lj = i + 1: Nach Definition der Elimination einer outermost Redexstelle ist pj ∈ Ui oder
pj /∈ OuterR,I(ti+1). Somit pj /∈ Pi+1.
lj > i + 1: Nach Definition der Elimination einer outermost Redexstelle ist pj /∈ Ui und pj ∈
OuterR,I(ti+1). Also pj ∈ Pi+1.
Insgesamt ist also Pi+1 = {pj ∈ P1 | lj > i + 1}.
Pi
Somit ist Pi = ∅ für alle i ≥ l := max{lj | j ∈ [n]}. Wegen ti −−→
R,I
si folgt si = ti und Ui = Qi für
alle i ≥ l. ✷
Lemma 5.45 Erhalt einer outermost I-Redexstelle
Sei RedR,I residual abgeschlossen und outer. Gegeben seien die folgenden I-Reduktionsschritte
R,I
t
t2
U2
U1
R,I
V1
R,I
R,I
t1
ˆt
V2
R,I