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5.2. DIE ς-FIXPUNKTSEMANTIK 85
Sei i ′ ∈ [n] beliebig. Der Term pi[⊥/Var(pi)] ist endlich und somit ω-kompakt. Aus
pi[⊥/Var(pi)] ✂ ˆt i =
j∈IN ti,j folgt nach der Definition der ω-Kompaktheit die Existenz eines
li ∈ IN mit pi[⊥/Var(pi)] ≤ t i,j für alle j ≥ li. Somit gilt für alle j ≥ l := max{li | i ′ ∈ [n]}:
∀i ∈ [n]. pi[⊥/Var(pi)] ✂ t i,j.
Insgesamt ist also für alle j ≥ max{k, l} f nicht erzwungen strikt für t j und t j mit dem
Pattern p matchbar.
Also sind nach Korollar 5.9 alle t j mit j ≥ max{k, l} mit f(p) semantisch ς-matchbar.
2.: Für alle j ∈ IN seien βj die Variablenbelegungen, die t j mit f(p) semantisch ς-matchen. Nach
Lemma 5.8 über semantisches ς-Matchen ist
für alle x ∈ Var(p) und j ∈ IN.
Somit existiert
j∈IN βj, denn es gilt:
für alle x ∈ Var(p).
(
j∈IN
βj(x) =t j/u , wobei {u} = Occ(x, p), (1)
βj)(x) =
j∈IN
(βj(x)) (1)
=
j∈IN
(t j/u) = (
t j)/u = ˆt/u (2)
Aufgrund von Teil 1 dieses Lemmas wird ˆt mit f(p) von einer Variablenbelegung β semantisch
ς-gematcht. Nach Lemma 5.8 über semantisches ς-Matchen ist
für alle x ∈ Var(p).
Aus (2) und (3) folgt schließlich
j∈IN
β(x) = ˆt/u , wobei {u} = Occ(x, p), (3)
β =
Bemerkung 5.1:
Das semantische ς-Matchen von t mit f(p) vermittels β kann als partielle Abbildung
j∈IN
βj.
sem − ς − match : (TC,ς) n × RedSP(X→TC,ς)
: (t, f(p)) ↦→ β
aufgefaßt werden. Die Halbordnung derartiger Funktionen setzt sich aus der Halbordnung der
partiellen Funktionen und der Halbordnung der punktweise geordneten Funktionen X→TC,ς zusammen.
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