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3.3. FORMALE SEMANTIKEN 47
t = g(s1, . . .,sn): (g (n) ∈ Σ).
Nach Induktionsvoraussetzung gilt für alle si:
Somit folgt:
[[si[t ′ /x]]] = [[si[t ′′ /x]]]
[[t[t ′ /x]]]
= [[g(s1[t ′ /x], s2[t ′ /x], . . .,sn[t ′ /x])]]
I.V.
= [[g(s1[t ′′ /x], s2[t ′′ /x], . . .,sn[t ′′ /x])]]
= [[t[t ′′ /x]]]
Operationelle Semantiken unserer Programme sollen also letztendlich immer Grundtermsemantiken
sein. Dagegen sollen denotationelle Semantiken einem Programm einen Datentyp, eine Algebra
zuordnen. Wie wir schon in der Einleitung angedeutet haben, kann aus einem solchen Datentyp
leicht eine Eingabe-Ausgabe-Abbildung, d. h. eine Grundtermsemantik gewonnen werden.
Definition 3.10 Algebraische Termsemantik
Sei=〈A, α〉 eine Σ-Algebra, Y ⊆ X und β : Y →A eine Variablenbelegung. Die algebraische
Termsemantik
[[·]] alg
: TΣ(Y )→A ,β
ist für einen Term t ∈ TΣ(Y ) induktiv definiert durch
[[x]] alg
:= β(x) ,β
[[g(ˆt1, . . ., ˆtn)]] alg
:= g([[ˆt1]] ,β alg
, . . . , [[ˆtn]] ,β alg
,β )
für alle x ∈ Y ,g (n) ∈ Σ und ˆt1, . . .,ˆtn ∈ TΣ(Y ).
Ist t ein Grundterm, so ist β überflüssig und wir schreiben [[t]] alg
. ✷
Die algebraische Termsemantik [[·]] alg
ist somit die eindeutige Fortsetzung von β zu einem Homo-
,β
morphismus von der frei über X erzeugten Termalgebra TΣ(X) in die Algebra. Daraus folgt auch
direkt die Invarianz der auf Grundterme beschränkten algebraischen Termsemantik [[·]] alg : TΣ→A.
Somit ist [[·]] alg eine Grundtermsemantik, die algebraische Grundtermsemantik.
Umgekehrt können wir zu einer Grundtermsemantik auch Datentypen, d. h. Algebren definieren.
Definition 3.11 Datentyp einer Grundtermsemantik
Sei [[·]] : TΣ→A eine Grundtermsemantik. Dann heißt[·] = 〈A, α〉 genau dann ein Datentyp der
Grundtermsemantik [·], wenn
g(a1, . . .,an) = [[g(t1, . . .,tn)]]
für alle g (n) ∈ Σ, t1, . . .,tn ∈ TΣ und a1, . . .,an ∈ A mit [[t1]] = a1, . . .,[[tn]] = an. ✷
✷