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5.5. ÜBEREINSTIMMUNG DER DREI ς-SEMANTIKEN 121
heißt eine ς-Reduktionsfolge eventually outermost, wenn jede outermost ς-Redexstelle, die in einem
der Terme der Folge vorkommt, im weiteren Verlauf der ς-Reduktionsfolge wieder eliminiert wird,
d. h. an der Stelle selbst wird reduziert oder durch eine andere Reduktion entsteht oberhalb der
Stelle eine neue ς-Redexstelle, so daß die betrachtete Stelle non-outermost wird.
Das verwendete Beweisprinzip stammt, wie schon erwähnt, aus [O’Do77]. Das dortige Theorem 10
besagt, daß eine eventually outermost Reduktionsfolge immer terminiert, wenn der Ausgangsterm
überhaupt eine Normalform besitzt. Dieses Theorem beruht auf dem davor aufgeführten Lemma
17, welches mit Hilfe einer komplexen Konstruktion von Reduktionen beweist, daß das Residuum
einer eventually outermost Reduktionsfolge wiederum eine eventually outermost Reduktionsfolge
ist (das Residuum einer Reduktionsfolge ist in Def. 2.3, S. 34, definiert worden).
Wir definieren diese Hilfskonstruktion zuerst in Definition 5.17 und geben dann den Beweis zerlegt
in vier Lemmata (5.44 – 5.47) an. Einerseits wird auf diese Weise der Beweis übersichtlicher; andererseits
verwenden wir die eventually outermost Hilfskonstruktion bzw. einige dieser Lemmata, um
noch weiterführende Aussagen über die mit eventually outermost ς-Redukionsfolgen erreichbaren
semantischen Approximationen zu zeigen (Lemmata 5.48 und 5.49). Daraus können wir dann insgesamt
die gewünschte Vollständigkeit der po-ς- bezüglich der allgemeinen ς-Reduktionssemantik
schließen.
Eine ausführliche Darstellung des Beweises des Lemmas 17 und Theorems 10 aus [O’Do77], der
dort außerdem für sogenannte kombinatorische Reduktionssysteme erweitert wird, befindet sich im
Anhang von [Ber&Klop86].
Zuerst zeigen wir, daß die Menge der ς-Redexe outer ist. Diese Eigenschaft ist Voraussetzung für
die meisten der folgenden Lemmata.
Lemma 5.40 Outer-Eigenschaft der ς-Redexe
Die Redexmenge RedP,ς ist outer.
Beweis:
w
Sei t −−→
l→r,ς t′ eine ς-Reduktion, u < v < w Stellen, v ∈ RedOccP,ς(t), u ∈ RedOccP,ς(t ′ ).
Es gibt somit v ′ , w ′ ∈ IN ∗ + und k ∈ IN+ mit v = u.k.v ′ und w = v.w ′ = u.k.v ′ .w ′ .
Da RedP,ς ⊆ RedP, folgt nach Lemma 2.10 über die Outer-Eigenschaft der Redexe, daß u ∈
RedOccP(t).
Somit ist
t/u = f(t1, . . . , tn)
t ′ /u = f(t ′ 1, . . . , t ′ n)
für f (n) ∈ F( ˙∪ H) und t1, . . .,tn, t ′ 1 , . . .,t′ n ∈ TΣ mit
für alle k = i ∈ [n] und
Da v ′ ∈ RedOccP,ς(t), gilt tk v′ .w ′
−−→
Reduktion ist somit
no,ς t ′ k
ti = t ′ i
tk v′ .w ′
−−→
l→r,ς t′ k.
. Nach Lemma 5.23, S. 105, über Informationsgewinn bei
(1)
[[tk]] alg
⊥ς = [[t′ k]] alg
. (2)
Da u ∈ RedOccP,ς(t ′ ), ist f nicht erzwungen strikt für ([[t ′ 1 ]]alg
⊥ς , . . .,[[t′ n]] alg
⊥ς ), und ([[t′ 1 ]]alg
⊥ς , . . .,[[t′ n]] alg
⊥ς )
ist semantisch ς-matchbar mit dem Pattern p eines Redexschemas f(p) ∈ RedSP. Aufgrund von
(1) und (2) trifft dies auch auf ([[t1]] alg alg
, . . .,[[tn]] ⊥ς ⊥ς ) zu. Somit ist u ∈ RedOccP,ς(t). ✷
⊥ς