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5.2. DIE ς-FIXPUNKTSEMANTIK 97
Beispiel 5.2 Φ£P, ς () /∈ IntΣς
f(G(A)) → A
Sei ς(G) = (ff),∈IntΣ,ς mit f(⊥) = ⊥ und f(t) = G(A) für alle t ∈ TC,ς \ {⊥}.
Sei nun′ := Φ ∗ P,ς (). Dann ist
Also ist f′
f′
(G(⊥)) = G(A) ✂ A = f′
(G(A)).
nicht monoton und somit′ /∈ IntΣ,ς. ✷
Der Spezialfall Φ ∗ P,cbv () ∈ IntΣ,cbv gilt freilich, da in der flachen Halbordnung alle strikten Funktionen
ω-stetig sind, und sich auch die nicht-strikten Verzweigungsoperationen condG als unproblematisch
erweisen. Aber wir wollen eine allgemeine Transformation für beliebige erzwungene
Striktheiten haben.
Definieren wir nun eine größere Menge von Algebren, die ς-Interpretationen∗ Int∗ Σ,ς , als Definitionsund
Wertebereich der Transformation Φ∗ P,ς . Eine Algebra ist genau dann eine ς-Interpretation∗ ,
wenn sie eine ς-Interpretation ist, abgesehen davon, daß die Operationen nicht ω-stetig sein müssen.
Es ist leicht zu sehen, daß
Φ ∗ P,ς : Int ∗ Σ,ς →Int ∗ Σ,ς
ist. Φ ∗ P,ς
ist jedoch nicht ω-stetig.
Beispiel 5.3 Unstetigkeit von Φ£P, ς
,′ ∈ Int ∗ Σ,ς seien definiert durch
Dann ist⊑′ , jedoch
und somit
Φ ∗ P,ς
a → f(a)
a() := ⊥ a′
() := A
f(⊥) := f′
(⊥) := A
f(A) := f′
(A) := ⊥
a Φ∗ P,ς () () = A ✂ ⊥ = a Φ ∗ P,ς (′ )()
Φ ∗ P,ς() ✂ Φ ∗ P,ς(′ ).
ist also nicht monoton. ✷
Allerdings haben wir festgestellt, daß
(Φ ∗ P,ς) n (⊥ς) =
(ΦP,ς) n (⊥ς) = DP,ς.
n∈IN
n∈IN
Nur können wir jetzt nicht mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Tarski schließen, daß DP,ς ein Fixpunkt
von Φ ∗ P,ς und gar der kleinste ist. Ersteres folgt jedoch direkt daraus, daß DP,ς ein Fixpunkt von
ΦP,ς ist. Letzteres läßt sich analog zu den Beweisen der Lemmata 6.6, S. 140, und 6.7, S. 141, zeigen.