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Kapitel 7
Sequentialität
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Ausdrucks- bzw. Berechnungsstärke unserer Programmiersprachen,
d. h. der Programme mit Pattern und der Programme mit Hilfsfunktionen zusammen
mit den ς-Semantiken.
Zuerst werfen wir in 7.1 einen Blick auf die verschiedenen Vergleichsmöglichkeiten.
Eine von diesen untersuchen wir dann in 7.2 genauer: In Anbetracht der Tatsache, daß wir einerseits
Programme mit Pattern und andererseits Programme mit Hilfsfunktionen definiert haben, stellt sich
die Frage, ob beide Programmarten in Verbindung mit den ς-Semantiken gleich ausdrucksstark sind,
und ob sich Programme der einen Art in Programme der anderen Art effektiv semantikerhaltend
übersetzen lassen. Dabei stellen wir fest, daß Programme mit Pattern echt ausdrucksstärker als
Programme mit Hilfsfunktionen sind.
In 7.3 beweisen wir diese Aussage formal mit Hilfe der semantischen Eigenschaft der Sequentialität.
Da die Sequentialität eine fundamentale Eigenschaft im Bereich funktionaler Programmiersprachen
und dem Kalkül der Termersetzungssysteme ist, betrachten wir sie in 7.4 noch näher. Sie stellt
exakt das Scheidekriterium zwischen den Ausdrucksstärken der Programme mit Pattern und der
mit Hilfsfunktionen dar. Auch liefert sie Anregungen für effiziente ς-Reduktionsstrategien.
7.1 Berechnungsstärke unserer Programmiersprachen
Da, wie wir schon in der Einleitung anmerkten, alle in einer funktionalen Programmiersprache
spezifizierbaren Abbildungen auch berechenbar sind (mit gewissen Einschränkungen bezüglich der
partiellen und der unendlichen Konstruktorterme), sind die Begriffe Ausdruckstärke und Berechnungsstärke
in diesem Rahmen austauschbar.
Wollen wir die absolute Berechungsstärke unserer Programmiersprachen bestimmen, so müssen wir
feststellen, daß diesbezüglich durchaus unterschiedliche Definitionen existieren.
In der klassischen Berechenbarkeitstheorie werden nur berechenbare (rekursive) Abbildungen
über den natürlichen Zahlen und über der Halbgruppe der Wörter (Zeichenketten) betrachtet
([Hermes78]). Wenn wir die natürlichen Zahlen durch die Konstruktorsymbole Zero und Succ
aufbauen, so können wir alle berechenbaren Abbildungen über den natürlichen Zahlen spezifizieren,
denn in unseren Programmiersprachen sind Nachfolgerbildung(SuccDP,ς), Projektion (Pattern
oder Selektion sel DP,ς
G,i ), Konstantenbildung, primitive Rekursion und Minimalisierung spezifizierbar.
Ebenso lassen sich offensichtlich alle berechenbaren Abbildungen über Wörtern spezifizieren (vgl.
[Dau89]).