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52 KAPITEL 4. DIE STANDARDSEMANTIKEN
Da ein Term nur höchstens eine li-Redexstelle besitzt, ist −−→ wirklich eine (deterministische)
P,li
Reduktionsstrategie. Wir definieren nun die li-Reduktionssemantik genauso wie die Normalformsemantik
im letzten Kapitel, nur daß wir die li-Reduktionsstrategie anstelle von beliebigen Reduktionen
mit −−→ verwenden.
P
Definition 4.2 li-Reduktionssemantik
Die li-Reduktionssemantik
[[·]] li P : TΣ→T ⊥ C
ist für einen Term t ∈ TΣ definiert durch
[[t]] li P :=
t↓ P,li , falls t↓ P,li existiert und t↓ P,li ∈ TC ist,
⊥ , andernfalls.
Unsere Definition von (leftmost-)innermost Redexstellen unterscheidet sich von der üblichen, in 4.1
gegebenen Definition von (leftmost-)innermost ∗ Redexen in zwei Punkten:
Nicht jede Stelle eines innermost ∗ Redexes ist eine innermost Redexstelle.
Beispiel 4.2 Undefinierte Funktion
Das Programm P mit den Funktionssymbolen f (1) und a (0) bestehe allein aus der Programmregel
f(x) → A
In dem Term f(a) ist f(a) selbst der (leftmost-)innermost ∗ Redex, da a kein Redex ist. Mit der
in 4.1 beschriebenen leftmost-innermost ∗ Reduktionsstrategie ergibt sich
f(a) −−→
P,li ∗ A
Die Stelle ε in f(a) ist jedoch keine (leftmost-)innermost Redexstelle.f(a) besitzt überhaupt keine
leftmost-innermost Redexstelle und ist somit schon in li-Normalform. Es gilt also
[[f(a)]] li
P = ⊥
Sobald ein Term ein Funktions- oder Hilfssymbol enthält, zu dem keine jemals passende Reduktionsregel
existiert, ist der Term vermittels li-Reduktion nicht mehr zu einem Konstruktorterm
reduzierbar. Die Funktions- und Hilfssymboloperationen werden in diesem Fall als undefiniert betrachtet,
da schließlich das Programm keinerlei Information über sie enthält. Außerdem ist nur auf
diese Weise die Invarianz der li-Reduktionssemantik erreichbar.
Umgekehrt befindet sich auch nicht an jeder innermost Redexstelle ein innermost∗ Redex. Die Verzweigungssymbole
condG können im 2. und 3. Argument geschachtelt“ sein, so daß die Bezeichnung
”
” innermost“ eigentlich auch nicht mehr ganz passend ist. Dies ist jedoch nötig, um die Verzweigung
überhaupt sinnvoll einsetzen zu können, wie das folgende Beispiel zeigt.
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