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68 KAPITEL 4. DIE STANDARDSEMANTIKEN
4.3.2 Die Reduktionssemantik
Der cbn-Auswertungsmechanismus wird üblicherweise mit der leftmost-outermost Reduktionsstrategie
gleichgesetzt. Wir definieren diese nun formal, wobei wir aus dem in Bemerkung 4.1, S. 53,
genannten Grund nur (leftmost-)outermost Redexstellen und keine (leftmost-)outermost Redexe
definieren.
Definition 4.10 Leftmost-outermost (lo-) Reduktion
Sei t ∈ TΣ.
• Die Stelle u ∈ RedOccP(t) heißt genau dann outermost Redexstelle des Terms t, wenn
keine Redexstelle v ∈ RedOccP(t) mit v < u existiert.
• Die bezüglich der lexikographischen Ordnung kleinste outermost Redexstelle von t heißt
leftmost-outermost Redexstelle des Terms t.
u
• Eine Reduktion A = t −−→ t
l→r ′ heißt genau dann leftmost-outermost Reduktion, wenn u
die lo-Redexstelle von t ist. Hierdurch ist auch die leftmost-outermost Reduktionsstrategie
−−→
Èlo definiert.
Da ein Term nur höchstens eine lo-Redexstelle besitzt, ist die lo-Reduktionsrelation −−→
P,lo wirklich
eine sequentielle Reduktionsstrategie.
Wir haben in Beispiel 4.1, S. 50, die lo-Reduktionsstrategie erfolgreich für die cbn-Auswertung
eingesetzt. Dennoch ist die lo-Reduktionsstrategie im allgemeinen leider unvollständig; sie stimmt
nicht mit der cbn-Fixpunktsemantik überein.
Beispiel 4.8 Unvollständigkeit der lo-Reduktionsstrategie
aber:
and(x,False) → False
a → False
undef → undef
[[and(undef,a)]] fix
P,cbn = and Dfix P,cbn(⊥,False) = False,
and(undef,a) −−→
P,lo and(undef,a) −−→
P,lo . . . .
Das 2. Argument a wird niemals zu False reduziert, so daß die Programmregel für and niemals
angewendet werden kann. ✷
Daher verwenden wir für die cbn-Reduktionssemantik die parallel-outermost Reduktion.
Definition 4.11 Parallel-outermost (po-) Reduktion
U
Eine Reduktion A = t −−→ t
P
′ ÈÔÓ
heißt genau dann parallel-outermost Reduktion, wenn U die
Menge aller outermost Redexe des Terms t ist. Hierdurch ist auch die parallel-outermost Reduktionsstrategie
−−→ definiert. ✷
✷