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Kapitel 6
Untersuchung der ς-Semantiken
Wir haben die ς-Semantiken unserer Programme sowohl denotationell als auch operationell definiert.
Wir untersuchen jetzt die Beziehungen der ς-Semantiken zu anderen häufig eingesetzten
Semantiken.
Für einfache algebraische Spezifikationen und für Termersetzungssysteme wird meistens das initiale
Modell bzw. die kanonische Quotientenalgebra als Semantik verwendet. In 6.1 begründen wir,
warum diese Quotientenalgebra als Semantik unserer Programme ungeeignet ist. Dennoch zeigen
wir immerhin einen Zusammenhang zwischen der Quotientenalgebra und unseren ς-Datentypen
auf.
Die insbesondere im Bereich logischer Programmiersprachen eingesetzten deklarativen Semantiken
beruhen auf dem Gültigkeits- und Modellbegriff der Logik. In 6.2 stellen wir fest, daß allein unsere
cbn-Semantik deklarativ definierbar ist. Immerhin ist die cbv-Semantik für Programme mit Pattern
aus deklarativer Sicht ebenfalls ausgezeichnet.
Dies führt uns in 6.3 zur Verwendung partieller Algebren, um damit die cbv-Semantik für Programme
mit Pattern deklarativ zu definieren.
6.1 Das initiale Modell
Mit unserer denotationellen ς-Fixpunktsemantik betrachten wir ein Programm als Spezifikation eines
Datentyps, einer speziellen Algebra. Diesen Standpunkt haben wir von den algebraischen Spezifikationen
übernommen ([Wir90]). Algebraische Spezifikationen bestehen meistens aus Formeln
einer Gleichungslogik erster Ordnung. Eine Algebra heißt genau dann Modell der Spezifikation,
wenn die Formeln der Spezifikation in dieser Algebra gültig sind. Einfache algebraische Spezifikationen
sind schlicht Mengen von Termgleichungen, d. h. Termpaaren. Somit kann der Begriff der
Gültigkeit einer Gleichung leicht auf Reduktionsregeln übertragen werden, und wir können die
Modelle eines Programms definieren.
Definition 6.1 Gültigkeit, Modell
Eine Termersetzungsregel l→r mit l, r ∈ TΣ(X) ist in einer Algebra=〈A, α〉 ∈ Alg Σ genau dann
gültig, wenn für alle Variablenbelegungen β : X→A
[[l]] alg
= [[r]] ,β alg
,β
gilt. Eine Algebra∈Alg Σ heißt genau dann Modell des Programms P, wenn alle Reduktionsregeln
des Programms P ingültig sind.