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5.2. DIE ς-FIXPUNKTSEMANTIK 83
Dies wird jedoch schon von (9) zusammen mit (6) impliziert. Daher gelten (8) und (9), bzw.
(7), genau dann, wenn (9) gilt.
Aufgrund von (5) kann die Induktionsvoraussetzung angewendet werden, und (9) gilt somit
genau dann, wenn
∀i ∈ [n]. ∀x ∈ Var(pi). β(x) = t i/u , wobei {u} = Occ(x, pi) ist.
Dies gilt wiederum genau dann, wenn
für alle x ∈ Var(p) gilt.
Es ist zu beachten, daß aus [[p]] alg
gesehen haben.
⊥ς,β
β(x) = t/u , wobei {u} = Occ(x, p),
= t nicht p[⊥/Var(p)] ✂ t folgt, wie wir in Beispiel 5.1, S. 77,
Lemma 5.8 Semantisches ς-Matchen
Sei n ∈ IN, t 1, . . .,t n ∈ TC,ς, f(p1, . . .,pn) ∈ RedSP und β : X→TC,ς.
t wird mit f(p) von der Variablenbelegung β genau dann semantisch ς-gematcht, wenn
und
für alle x ∈ Var(p) gilt.
Beweis:
⇐: Sei i ∈ [n]. Gemäß (1) gilt
Aus (2) folgt
für alle x ∈ Var(pi).
∀i ∈ [n]. (ς(f)(i) = tt ⇒ t i = ⊥) ∧ pi[⊥/Var(pi)] ✂ t i
β(x) =t/u , wobei {u} = Occ(x, p), (2)
pi[⊥/Var(pi)] ✂ t i.
β(x) = t i/u ′ , wobei {u ′ } = Occ(x, pi),
Mit Lemma 5.7 über das semantische ς-Matchen mit linearen Pattern folgt, daß
[[pi]] alg
⊥ς,β = t i.
Da dies für alle i ∈ [n] gilt, folgt zusammen mit (1) gemäß der Definition des semantischen
ς-Matchens, daß t mit f(p) von β semantisch ς-gematcht wird.
⇒: Da t mit f(p) von β semantisch ς-gematcht wird, gilt nach Definition des semantischen ς-
Matchens (1) und es ist
[[pi]] alg
⊥ς,β = t i
für alle i ∈ [n].
Daraus folgt mit Lemma 5.7 über semantisches ς-Matchen mit linearen Pattern, daß
β(x) = t i/u ′ , wobei {u ′ } = Occ(x, pi),
für alle x ∈ Var(pi) und i ∈ [n] gilt. Somit ist auch (2) erfüllt.
✷
(1)
✷