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118 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
Setze nun t ′ := G(t ′ 1 , . . .,t′ n). Aus (1) folgt
t = G(t1, . . . , tn)
und (3) und (4) ergeben zusammen
∗
−−→
ς G(t ′ 1, . . .,t ′ n) = t ′
[[t]] alg
i+1 = Gi+1 ([[t1]] alg alg
i+1 , . . .,[[tn]] i+1 )
(3)
✂ Gi+1 ([[t ′ 1]] alg
⊥ς , . . .,[[t′ n]] alg
⊥ς )
(4)
= G ⊥ς ([[t ′ 1]] alg
⊥ς , . . .,[[t′ n]] alg
⊥ς )
= [[t ′ ]] alg
⊥ς .
Beispiel 5.8 Zur Veranschaulichung des Beweises
Sei P das folgende Programm mit Pattern:
a → A
g(x) → G(a)
h(x) → g(x)
f(x) → x
Es sei ς = cbn. Es ergeben sich folgende Operationen für die ersten Approximationen des ς-
Fixpunktdatentyps:
i = 0 i = 1 i = 2
ai () ⊥ A A
gi (t) ⊥ G(⊥) G(A)
hi (t) ⊥ ⊥ G(⊥)
fi (t) ⊥ t t
Wir betrachten nun den Term t = f(h(A)) ∈ TΣ im Schritt von i = 1 zu i + 1 = 2, wie im Fall
t = f(t1, . . .,tn) und Fall 1 des Beweises beschrieben.
([[h(A)]] alg
2 ) = (G(⊥)) ist mit der linken Seite der Reduktionsregel f(x)→x unter der Variablenbelegung
β = (x ↦→ G(⊥)) semantisch ς-matchbar.
Es gilt also
[[t]] alg
2 = f2 alg
(G(⊥)) = [[x]] 1,β = G(⊥). (1)
Es existiert t ′ 1 = G(a) ∈ TΣ mit
und
(2) impliziert
Es gilt speziell
t1 := h(A) −−→
ς g(A) −−→
ς G(a) = t ′ 1 (2)
[[t1]] alg
2 = G(⊥) ✂ G(⊥) = [[t′ 1]] alg
. (3)
t = f(h(A))
⊥ς
∗
−−→
ς f(G(a)). (4)
[[t ′ 1]] alg
⊥ς = G(⊥) ✂ G(A) = [[t′ 1]] alg
1
✷
(5 ′ )