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2.5. TERMERSETZUNGSSYSTEME 25
ermöglicht eine einfache Untersuchung des Reduktionsverhaltens beinahe orthogonaler Termersetzungssysteme.
Das zentrale allgemeine Residuenlemma (2.9) wird die Grundlage fast aller
Beweise von Eigenschaften von Reduktionsfolgen sein. Eine triviale Konsequenz des allgemeinen
Residuenlemmas ist außerdem die Konfluenz der Reduktionsrelation beinahe orthogonaler Termersetzungssysteme.
Definition 2.1 Beinahe orthogonales Termersetzungssystem
Ein Termersetzungssystem R heißt genau dann beinahe orthogonal (almost orthogonal), wenn
es linkslinear ist, d.h. alle Redexschemata l ∈ RedSR linear sind, und die folgende Eindeutigkeitsbedingung
erfüllt:
Seien l→r, l ′ →r ′ ∈ R, u ∈ Occ(l) mit l/u /∈ X, σ, σ ′ : X→TΣ(X). Dann gilt:
(l/u)σ = l ′ σ ′ =⇒ u = ε, rσ = r ′ σ ′
Orthogonale Termersetzungssysteme erfüllen die noch strengere Eindeutigkeitbedingung
(l/u)σ = l ′ σ ′ =⇒ u = ε, (l→r) = (l ′ →r ′ )
Die Beschränkung auf diese restriktivere Teilmenge ist jedoch nicht nötig. Fast die gesamte Theorie
orthogonaler Termersetzungssysteme ist auf beinahe orthogonale Termersetzungssysteme übertragbar.
Die Theorie der needed redexes in [Huet&Lévy79] stellt die einzige bedeutende Ausnahme dar,
wie in [An&Mid94] festgestellt wird.
u
Orthogonale Termersetzungssysteme haben allerdings den Vorteil, daß bei einer Reduktion t −−→ t
l→r ′
die verwendete Regel l→r durch t und u schon eindeutig bestimmt ist, so daß auf ihre Angabe
immer verzichtet werden kann, wie wir dies schon bei der beim Matchen verwendeten Substitution
σ machen. Allerdings ist bei beinahe orthogonalen Termersetzungssystemen immerhin noch die
verwendete Regelinstanz einer Reduktion, lσ→rσ, eindeutig durch t und u bestimmt. Dies ist auch
für alle weiteren Zwecke ausreichend. In einigen Fällen werden wir allerdings die Unabhängigkeit
einer Definition von der konkret verwendeten Regel explizit beweisen müssen.
Linkslineare Termersetzungssysteme, die nur die erweiterte Eindeutigkeitsbedingung
(l/u)σ = l ′ σ ′ =⇒ u ∈ Occ(r), (r/u)σ = r ′ σ ′
erfüllen, werden schwach orthogonal (weakly orthogonal) genannt. Sie sind weitaus schwieriger
zu handhaben, da sich die Residuenabbildung und damit die gesamte Thorie beinahe orthogonaler
Termersetzungssysteme nicht mehr auf sie übertragen läßt. Derartige teilweise Überlappungen linker
Regelseiten sind jedoch in unseren später definierten funktionalen Programmiersprachen durch
deren Syntax prinzipiell ausgeschlossen und deshalb auch nicht von Interesse.
Wie schon erwähnt, werden in [Ros73] und [O’Do77] noch keine Termersetzungssysteme in unserem
Sinne betrachtet. Stattdessen werden potentiell unendliche Mengen von Grundtermersetzungsregeln,
d. h. solchen deren linke und rechte Regelseiten nur aus Grundtermen bestehen, verwendet.
Jedoch ist auch die Menge aller Grundinstanzen aller Regeln eines Termersetzungssystems, auch
kanonische Instanz des Termersetzungssystems genannt, ein solches im allgemeinen unendliches
Grundtermersetzungssystem. Die Reduktionen und Reduktionsrelationen dieses unendlichen
Grundtermersetzungssystems sind identisch mit denen des Termersetzungssystems.
✷