Download (1405Kb)

162 KAPITEL 7. SEQUENTIALITÄT
Seit ∈ (TC,ς) n mit Occ(⊥,t) = ∅ und u ′ ∈ Occ(⊥, ϕG(t)) = Occ(⊥, G(t 1, . . .,t n)). Somit ist u ′ = ε.
Es gilt G(t ′ 1 , . . . , t′ n)/u ′ = t ′ /u ′ für alle t ′ ∈ (TC,ς) n . Also ist u := u ′ ein Sequentialitätsindex von
ϕG für t bezüglich u ′ .
Für Ggilt nun
G(t) =
⊥ , falls ein i ∈ [n] mit t i = ⊥ und ς(G)(i) = tt existiert
ϕ(t) , andernfalls
Gemäß Lemma 7.3 über den Erhalt der Sequentialität bei erzwungener Striktheit ist Gsequentiell.
✷
Lemma 7.5 Sequentialität der überall undefinierten Abbildung
Jede überall undefinierte Abbildung ϕ : (TC,ς) n →TC,ς, d. h. ϕ(t) = ⊥ für alle t ∈ (TC,ς) n bzw.
ϕ = ⊥ 〈[(TC,ς) n→T C,ς],〉, ist sequentiell.
Beweis:
Sei t ∈ (TC,ς) n mit Occ(⊥,t) = ∅. Es gibt nur u ′ := ε ∈ Occ(⊥, ϕ(t)). Da ϕ( t ′ )/ε = ⊥ für alle
t ′ ∈ (TC,ς) n , ist jede Stelle u ∈ Occ(⊥,t) ein Sequentialitätsindex von ϕ für t bezüglich u ′ . ✷
Korollar 7.6 Sequentialität der kleinsten ς-Interpretation
Die kleinste ς-Interpretation ⊥ς ist sequentiell.
Beweis:
Folgt direkt aus Lemma 7.4 und Lemma 7.5. ✷
Lemma 7.7 Sequentialität einer abgeleiteten Operation bezüglich einer
sequentiellen ς-Interpretation
Sei∈IntΣ,ς eine sequentielle ς-Interpretation, {x1, . . .,xn} ⊆ X eine endliche Variablenmenge
und t ∈ TΣ({x1, . . .,xn}).
Dann ist die abgeleitete Operation ϕ : (TC,ς) n →TC,ς, definiert durch
sequentiell.
Beweis:
ϕ(t) := [[t]] alg
,β mit
β(xi) := t i für alle i ∈ [n],
t = xi: Also ist ϕ(t) = t i für alle t ∈ (TC,ς) n . Nach Lemma 7.1 sind Projektionen sequentiell.
t = g(t1, . . .,tm): (g (m) ∈ Σ, t1, . . .,tm ∈ TΣ({x1, . . .,xn}).
Es ist
ϕ(t) = [[t]] alg
= g([[t1]] ,β alg
, . . .,[[tn]] ,β alg
,β ).
Nach Induktionsvoraussetzung sind die Abbildungen ϕi mit ϕi(t) := [[ti]] alg
,β für
alle i ∈ [m]
sequentiell. Die Operation gist sequentiell, und da nach Lemma 7.2 auch die Komposition
dieser sequentiellen Abbildungen sequentiell ist, ist ϕ sequentiell.
✷