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86 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN 5.2.4 Die Wohldefiniertheit Hier zeigen wir endlich, daß die ς-Fixpunktsemantik — und somit auch insbesondere die in Kapitel 4 definierte cbv- und cbn-Fixpunktsemantik — wohldefiniert ist. Die Beweise der Wohldefiniertheit bestehen im einzelnen aus denen, die die ς-Interpretationen, die ω-Vollständigkeit der kanonischen Halbordnung der ς-Interpretationen, 〈IntΣ,ς, ⊑〉, und die die ς-Transformation betreffen. Für die Wohldefiniertheit der ς-Interpretation müssen wir zeigen, daß die festgelegten Konstruktoroperationen auch ω-stetig sind. Andernfalls würde überhaupt keine ς-Interpretation existieren. Dafür benötigen wir jedoch zuerst folgendes Hilfslemma. Lemma 5.11 ω-Stetigkeit der erzwungenen Striktheit Sei g (n) ∈ Σ, T = (t j)j∈IN eine ω-Kette mit t i,j ∈ TC,ς und t = T. Das Operationssymbol g ist genau dann erzwungen strikt für t, wenn g für alle t j ∈ T erzwungen strikt ist. Beweis: Fall 1: g ist erzwungen strikt für t. Demnach existiert ein i ∈ [n] mit ς(g)(i) = tt und t i = ⊥. Da t i = j∈IN t i,j, ist auch für alle j ∈ IN t i,j = ⊥. Somit ist g auch für alle t j ∈ T erzwungen strikt. Fall 2: g ist nicht erzwungen strikt für t. Also ist für alle i ∈ [n] mit ς(g)(i) = tt t i = ⊥. Sei i ′ ∈ [n] mit ς(g)(i ′ ) = tt. Da t i ′ = j∈IN t i ′ ,j, existiert ki ′ ∈ IN mit t i ′ ,j = ⊥ für alle j ≥ ki ′. Somit gilt für alle j ≥ k := max{ki ′ | i′ ∈ [n], ς(g)(i ′ ) = tt}: ∀i ∈ [n]. (ς(g)(i) = tt ⇒ t i,j = ⊥), d. h. g ist nicht erzwungen strikt für alle t j ∈ T mit j ≥ k. Lemma 5.12 ω-Stetigkeit der Konstruktoroperationen der ς-Interpretationen Die in den ς-Interpretationen definierten Operationen der Konstruktorsymbole sind ω-stetig. Beweis: Sei G (n) ∈ C. Sei T = (t j)j∈IN eine ω-Kette mit t i,j ∈ TC,ς undt = T. Seieine ς-Interpretation. Fall 1: G ist erzwungen strikt für t Nach Lemma 5.11 über die ω-Stetigkeit der erzwungenen Striktheit ist G dann auch für alle t j ∈ T erzwungen strikt. Somit gilt G(T) = {⊥} = ⊥ = G( T) ✷
5.2. DIE ς-FIXPUNKTSEMANTIK 87 Fall 2: G ist nicht erzwungen strikt für t Nach Lemma 5.11 über die ω-Stetigkeit (und somit auch Monotonie) der erzwungenen Striktheit existiert k ∈ IN, so daß G für alle t j mit j ≥ k nicht erzwungen strikt ist. Also gilt G(T) = { G(t j), G(t j)} j
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Rheinisch-Westfälische Technische
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Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2
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Kapitel 1 Einleitung Eine Programmi
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Die Bedeutung der Basisdatentypen w
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Um derartige Semantiken zu finden,
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Kapitel 2 Grundlagen Hier werden in
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2.2. HALBORDNUNGEN 11 • obere Sch
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2.2. HALBORDNUNGEN 13 Bemerkung 2.1
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2.3. ALGEBREN 15 In [ADJ77] werden
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2.4. TERME 17 2.4 Terme Terme (erst
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2.4. TERME 19 und die lexikalische
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2.4. TERME 21 Kommt jede Variable i
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2.5. TERMERSETZUNGSSYSTEME 23 Grund
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Kapitel 7 Sequentialität In diesem
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Kapitel 8 Nicht-freie Datentypen Wi
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Kapitel 9 Zusammenfassung und Ausbl
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mächtiges Konzept darstellen, sond
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Literaturverzeichnis [ADJ77] J. A.
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LITERATURVERZEICHNIS 183 [Dow&Se76]
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INDEX 187 TC,ς, 75 IntΣ,ς, 76 [[
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INDEX 189 Redexstelle, 51 Reduktion
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INDEX 191 cbv-, 57 Unifikation, 18
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