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106 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
Diese Aussage gilt natürlich insbesondere auch für die einfachen und parallelen ς-Reduktionen
(t −−→
P,no,ς t′ impliziert t −−→ t
P,no ′ ).
Lemma 5.24 Residuale Abgeschlossenheit der ς-Redexe
Die Menge der ς-Redexe RedP,ς ist residual abgeschlossen.
Beweis:
u
Sei t −−→ t ′ eine Reduktion und v ∈ RedOccP,ς(t).
Nach Lemma 2.6, S. 29, ist die Menge aller Redexe eines Programms P, RedP, residual abge-
u
schlossen. Somit ist v \ t −−→ t ′ ⊆ RedOccP(t ′ ). Außerdem besagt Lemma 2.6, daß in den Fällen
u
v = u, v u und u < v für alle ˆv ∈ v \ t −−→ t ′ t/v = t ′ /ˆv. Also ist in diesen Fällen auch
u
v \ t
−−→ t ′ ⊆ RedOccP,ς(t ′ ).
Sei nun v < u. Es ist u = v.k.u’ für ein k ∈ IN+ und u ′ ∈ IN ∗ +. Da v ∈ RedOccP,ς(t), ist
t/v = f(t1, . . .,tn)
t ′ /v = f(t ′ 1, . . .,t ′ n)
für f (n) ∈ F( ˙∪ H) und t1, . . .,tn, t ′ 1 , . . .,t′ n ∈ TΣ mit
tk
u ′
−−→ t ′ k
∀k = i ∈ [n]. ti = t ′ i. (2)
Nach Lemma 5.23 über Informationsgewinn bei Reduktion folgt aus (1)
und aus (2) folgt trivialerweise
[[tk]] alg
⊥ς ✂ [[t′ k]] alg
⊥ς
∀k = i ∈ [n]. [[ti]] alg
⊥ς = [[t′ i]] alg
. (4)
Da v ∈ RedOccP,ς(t), ist f nicht erzwungen strikt für ([[t1]] alg alg
, . . . , [[tn]] ) und dieses ist syntaktisch
⊥ς ⊥ς
ς-matchbar mit dem Pattern (p1, . . . , pn) eines Redexschemas f(p1, . . .,pn) ∈ RedSP. Aufgrund
von (3) und (4) trifft dies auch auf ([[t ′ 1 ]]alg
⊥ς , . . . , [[t′ n]] alg
⊥ς ) zu. Somit ist v eine ς-Redexstelle in t′ und
u
es gilt v \ t −−→ t ′ = {v} ⊆ RedOccP,ς(t ′ ). ✷
Aus der residualen Abgeschlossenheit der ς-Redexe folgt gemäß Kapitel 2 die Gültigkeit des allgemeinen
Residuenlemmas für die ς-Reduktion und die Konfluenz der ς-Reduktionsrelation −−→ .
P,ς
Lemma 5.25 Wohldefiniertheit der ς-Reduktionssemantiken
Die allgemeine ς-Reduktionssemantik [[·]] red
P,ς und die po-ς-Reduktionssemantik [[·]]po P,ς sind wohldefiniert,
d.h. für alle t ∈ TΣ existieren die kleinsten oberen Schranken von
und
Tpo := {[[t ′ ]] alg
⊥ς
| t
Tred := {[[t ′ ]] alg
⊥ς
| t
⊥ς
∗
−−→ t
P,ς
′ }
∗
−−→
P,po,ς t′ } = {[[ti]] alg
⊥ς | i ∈ IN+, t = t1 −−→
P,po,ς t2 −−→ . . .}.
P,po,ς
(1)
(3)