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100 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
2. die Ordnungsbedingung
3.
für alle i ∈ [n] erfüllt ist, und
ist.
pi[⊥/Var(pi)] ✂ [[ti]] alg
⊥ς
f(t) = f(p)σ
Definition 5.10 ς-Redex
f(t) mit f (n) ∈ F( ˙∪ H) und t ∈ (TΣ) n heißt genau dann ς-Redex zu einem Redexschema
f(p) ∈ RedSP, wenn t vermittels einer Substitution σ : Var(p)→TΣ mit f(p) syntaktisch ς-matchbar
ist.
Wir bezeichnen die Menge aller ς-Redexe des Programms P mit RedP,ς. ✷
Auch [Cou90] definiert für seine cbv- und cbn-Semantik zwei verschiedene Mengen von Redexen.
Durch die Menge der ς-Redexe ist eine Instanz eines Programms, präziser: des damit assoziierten
Termersetzungssystems, definiert. Wir verwenden ς auch zur Bezeichnung dieser Instanz. Durch
die Definition der Menge der ς-Redexe erhalten wir somit auch die Begriffe der Menge aller ς-
Reduktionsstellen, RedOccP,ς, der ς-Reduktion und der ς-Reduktionsrelationen −−→ .
und −−→
P,ς P,ς
Beweisen werden wir die Korrektheit der ς-Reduktion in der ς-Fixpunktsemantik erst in 5.4.3 mit
Hilfe mehrerer noch anzugebender Lemmata.
Mit der ς-Reduktionsrelation definieren wir nun eine ς-Reduktionssemantik. Wir definieren sie
ähnlich wie die Normalformsemantik (Def. 3.7, S. 45), jedoch unter Verwendung der semantischen
Approximation, da der Rechenbereich TC,ς im allgemeinen auch unendliche und partielle Terme
enthält, die wir durch Berechnungen nur approximieren können.
Definition 5.11 Allgemeine ς-Reduktionssemantik
Die allgemeine ς-Reduktionssemantik
ist definiert durch
[[·]] red
P,ς : TΣ→TC,ς
[[t]] red
P,ς := {[[t ′ ]] alg
| t ⊥ς
∗
−−→ t
P,ς
′ }.
Die Existenz der kleinsten oberen Schranke in der Definition ist nicht offensichtlich. Wir beweisen
die Wohldefiniertheit der allgemeinen ς-Reduktionssemantik und der gleich folgenden paralleloutermost
ς-Reduktionssemantik in 5.3.3.
Die Definition der allgemeinen ς-Reduktionssemantik ist sehr schlicht. Es ist intuitiv einleuchtend,
daß die Berechnung aller von einem Term ausgehender korrekter Reduktionen (von denen die ς-
Reduktionen freilich auch nur eine Teilmenge sind) zur Semantik des Terms führt. Beim Beweis
der Übereinstimmung der ς-Fixpunkt- und der ς-Reduktionssemantiken in 5.5 erweist sich die
allgemeine ς-Reduktionssemantik als sehr nützlich. Für eine Implementierung stellt sie jedoch keine
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