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4.2. DIE CBV-SEMANTIK 55
Fall 2: f = condG ∈ H und [[t1]] li P = [[t′ 1 ]]li P = ⊥.
O. B. d.A. sei (t1 ↓P,li)(ε) = G.
condG(t1, t2, t3)
condG(t ′ 1 , t′ 2 , t′ 3 )
∗
−−→
P,li
∗
P,li
−−→
condG(t1 ↓ P,li, t2, t3)
condG(t ′ 1 ↓ P,li , t′ 2 , t′ 3 )
Somit ist [[condG(t1, t2, t3)]] li P = [[t2]] li P = [[t′ 2 ]]li P = [[condG(t ′ 1 , t′ 2 , t′ 3 )]]li P .
∗
−−→
P,li
∗
P,li
−−→
Die li-Reduktionsstrategie ist nicht normalisierend. Für die li ∗ -Reduktion gilt sogar, daß die mit
einem Term t beginnende li ∗ -Reduktionsfolge nur genau dann terminiert, wenn von diesem Term
überhaupt keine unendliche Reduktionsfolge ausgeht (Theorem 11 und 16 in [O’Do77]). Daher
wurde sie in der Literatur oft als unvollständig bezeichnet ([Vui74], [Dow&Se76], [Ber&Lévy77]).
Zum ersten Mal gibt [de Bakker76] im Rahmen des λ-Kalküls eine denotationelle Fixpunktsemantik
für sie an.
4.2.2 Die Fixpunktsemantik
Wir geben nun eine denotationelle Definition der cbv-Semantik an. Dafür ordnen wir einem Programm
einen Datentyp, eine Algebra als Semantik zu.
Zuerst betrachten wir den Basisdatentyp, da dieser unabhängig von einem konkreten Programm ist,
und wir diesen daher ein für allemal festlegen können. Die Datenelemente sollen aus Konstruktoren
aufgebaut sein. Der Träger besteht somit aus den Konstruktortermen TC und dem Element ⊥ für die
Undefiniertheit, ist also der schon bei der li-Reduktionssemantik verwendete Rechenbereich. Dies
ist natürlich auch wesentlich, da der Datentyp ein Datentyp der li-Reduktionssemantik sein soll.
Die Konstruktoren werden wie in einer Herbrandalgebra durch sich selbst interpretiert. Schließlich
gehören noch die Operationen der Funktionssymbole, die zu deren Reduktionsregeln passen müssen,
zum Basisdatentyp.
Wir verzichten hier jedoch auf die formale Definition des Basisdatentyps und nähern uns stattdessen
dem festzulegenden Datentyp des Programms auf etwas andere Weise. Wir definieren die
Menge der Interpretationen: die Menge der Σ-Algebren, die, ohne daß wir Informationen über das
konkrete Programm benutzen, potentielle Datentypen des Programms sind. Damit besteht eine Interpretation
im Prinzip aus dem Basisdatentyp plus den Operationen der Funktionssymbole, wobei
letztere beliebig sein können. Wie wir schon erwähnten, weichen wir bezüglich der Hilfsoperationen
vom Konzept des Basisdatentyps etwas ab. Die Operationen der Hilfssymbole lassen sich aus den
Reduktionsregeln auf genau die gleiche Art gewinnen wie die Operationen der Funktionssymbole,
weshalb wir die Hilfsoperationen in den Interpretationen ebenfalls noch nicht festlegen.
Definition 4.3 cbv-Interpretation
Sei 〈T⊥ C , ✂〉 die flache Halbordnung des Rechenbereichs mit ⊥ als kleinstem Element. Sei
α :
Σn→[(T ⊥ C ) n →T ⊥ C ]
n∈IN
eine Zuordnung von ω-stetigen Operationen an die Operationssymbole mit
G(t
α(G)(t1, . . .,t n) = 1, . . .,t n) , falls t1, . . . , tn ∈ TC
⊥ , andernfalls
α(f)(t 1, . . .,t n) = ⊥ , wenn ⊥ ∈ {t 1, . . .,t n}
α(condG)(⊥, t 1, t 2) = α(selG,i)(⊥) = ⊥
t2
t ′ 2
✷