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166 KAPITEL 7. SEQUENTIALITÄT
Lemma 7.11 Sequentialität und Striktheit
Sei ϕ : (TC,ς) n →TC,ς mit n ∈ IN eine monotone Abbildung und i ∈ [n].
ϕ ist genau dann an der i-ten Argumentstelle strikt, wenn i ein Sequentialitätsindex von ϕ für
(⊥, ⊥, . . . , ⊥) ∈ (TC,ς) n bezüglich ε ist.
Beweis:
ϕ ist an der i-ten Argumentstelle strikt.
⇐⇒ ∀t ∈ TC,ς. (t i = ⊥ =⇒ ϕ(t) = ⊥)
⇐⇒ ∀t ∈ TC,ς. (ϕ(t) = ⊥ =⇒ t i = ⊥)
⇐⇒ ∀t ☎ (⊥, ⊥, . . .,⊥). (ϕ(t)/ε = ⊥ =⇒ t/i = ⊥)
⇐⇒ i ist Sequentialitätsindex von ϕ für (⊥, ⊥, . . .,⊥) bezüglich ε.
Hieraus folgt unmittelbar die Sequentialität aller Operationen in der cbv-Semantik, auch der durch
Programme mit Pattern spezifizierten. Dies ist jedoch nicht überraschend, da wir erwähnten, daß
für die cbv-Semantik Programme mit Pattern sehr wohl semantikerhaltend in Programme mit
Hilfsfunktionen übersetzbar sind.
Da Striktheit bekanntlich eine unentscheidbare Eigenschaft ist, weist der Zusammenhang zwischen
Sequentialität und Striktheit schon darauf hin, daß es auch unentscheidbar ist, ob die durch ein
Programm mit Pattern spezifizierten Operationen sequentiell sind.
Wir hätten die größere Ausdrucksstärke der Programme mit Pattern durchaus mit Hilfe einer einfacheren
Eigenschaft als der Sequentialität nachweisen können. Die in [Berry78] definierte sogenannte
Stability-Eigenschaft von Abbildungen hätte denselben Zweck erfüllt. Alle durch Programme mit
Hilfsfunktionen spezifizierbaren Operationen sind stable, wogegen durch Programme mit Pattern
auch Operationen spezifizierbar sind, die nicht stable sind.
Wir haben trotzdem die Sequentialität verwendet, da diese die intuitive Sequentialität der durch
Programme mit Hilfsfunktionen spezifizierten Operationen vollständig verkörpert. Es existieren
nämlich durch Programme mit Pattern spezifizierbare Operationen, die stable und dennoch nicht
durch Programme mit Hilfsfunktionen spezifizierbar sind (vgl. 3.4 in [Ber&Cur82]). Hingegen sind
wir überzeugt, daß alle sequentiellen Operationen, die durch Programme mit Pattern spezifizierbar
sind, auch durch Programme mit Hilfsfunktionen spezifizierbar sind. Somit ist die Sequentialität genau
das Scheidekriterium zwischen den durch beliebige Programme und den nur durch Programme
mit Pattern spezifizierbaren Operationen.
Wir wollen die Richtigkeit dieser Aussage zumindest plausibel machen. Sind alle durch ein Programm
mit Pattern spezifizierten Operationen sequentiell, so ließe sich das Programm semantikerhaltend
in ein Programm mit Hilfsfunktionen übersetzen, indem die Teste der Argumente mit
condG nur an Sequentialitätsindexen erfolgen würden. Die Sequentialität besagt gerade, daß die Information
an den Sequentialitätsindexen benötigt wird, um den Informationsgehalt des Ergebnisses
steigern zu können. Freilich wäre diese Übersetzung nur dann effektiv durchführbar, wenn nicht nur
die Gegebenheit der Sequentialität, sondern auch die Sequentialitätsindexe selbst bekannt wären.
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