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2.4. TERME 19
und die lexikalische Ordnung 〈IN ∗ +, ≤lex〉 durch
u ≤lex v ⇐⇒ u ≤ v ∨ ∃w, u ′ , v ′ ∈ IN ∗ +. ∃i, j ∈ IN+. i < j ∧ u = w.i.u ′ ∧ v = w.j.v ′
Anschaulich bedeutet in einer Baumdarstellung von Termen u ≤ v, daß sich u oberhalb (außerhalb)
von v befindet, und u ≤lex v, daß u oberhalb oder links von v liegt.
Die Präfixordnung bestimmt die Abhängigkeit von Stellen. u und v heißen genau dann voneinander
abhängig, wenn u ≤ v oder v ≤ u. Entsprechend heißen u und v genau dann voneinander
unabhängig, geschrieben u v, wenn sie nicht voneinander abhängig sind. Sind U, V ⊆ IN ∗ +
Stellenmengen, so schreiben wir
• u V :⇐⇒ ∀v ∈ V. u v
• U V :⇐⇒ ∀u ∈ U. u V
2.4.2 Unendliche Terme
Eine partielle Abbildung von Stellen nach Operationssymbolen und Variablen, t : IN ∗ +Σ ˙∪ X,
heißt genau dann unendlicher (Σ-)Term über X (Σ-Baum über X), wenn ihr Definitionsbereich
Occ(t) die folgenden Eigenschaften hat:
• ε ∈ Occ(t)
• Occ(t) ist präfix-abgeschlossen, d.h.
∀u, v ∈ IN ∗ +. u.v ∈ Occ(t) =⇒ u ∈ Occ(t)
• Die Stelligkeit der Signatursymbole wird beachtet, d.h.
∀u ∈ Occ(t). (t(u) ∈ Σn ⇒ ∀i ∈ IN+. (u.i ∈ Occ(t) ⇔ i ∈ [n])) ∧
(t(u) ∈ X ⇒ ∀i ∈ IN+. u.i /∈ Occ(t))
Die Menge aller unendlichen (Σ-)Terme über X wird mit T ∞ Σ (X) bezeichnet. T∞ Σ := T∞ Σ (∅)
ist die Menge aller unendlichen (Σ-)Grundterme.
Die Σ-Algebra unendlicher Terme T ∞ Σ (X) := 〈T∞ Σ (X), τ ∞ 〉 ist gegeben durch die Zuordnung
τ ∞ :
T ∞ Σ := T ∞ Σ
Occ(τ ∞ (f)(t1, . . .,tn)) := {ε} ˙∪ {i.ui | i ∈ [n], ui
∈ Occ(ti)}
(τ ∞ (f)(t1, . . .,tn))(u) :=
f , falls u = ǫ
ti(u ′ ) , falls u = i.u ′ , i ∈ [n]
(∅) heißt Σ-Algebra der unendlichen Grundterme.
Sei nun ⊥ /∈ Σ ˙∪ X eine neue, ausgezeichnete Konstante. T∞ Σ,⊥ (X) := T ∞ Σ ˙∪ {⊥} (X) heißt Menge
der partiellen, unendlichen (Σ-)Terme über X.
Für partielle, unendliche Σ-Terme über X ist die kanonische Halbordnung 〈T∞ Σ,⊥ (X), ✂〉 definiert
durch
t ✂ t ′
:⇐⇒ Occ(t) ⊆ Occ(t′ ) ∧
∀u ∈ Occ(t). t(u) = ⊥ ⇒ t(u) = t ′ (u)
〈T ∞ Σ,⊥ (X), ✂〉 ist die kleinste Halbordnung auf T∞ Σ,⊥ (X),