PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 7. Jens Mammen, 30.04.95
topologi. I et topologisk rum kan "punkterne" være hvad som helst, som kan
være elementer i en mængde. Jeg vil nok af og til af samme grund gå lidt på
tværs af terminologien og omtale punkterne som elementer. (I DMS har jeg
også kaldt dem for genstande).
Dernæst består det topologiske rum af en bestemt delmængde af M's potensmængde
P(M), altså en delmængde af mængden af delmængder af M, som kaldes
mængden af åbne mængder (eng.: The set of open sets).
Nogle gange omtales mængden af åbne mængder som "en topologi" på M, idet
der nemlig kan defineres flere forskellige topologier på samme M. Hvis det er
underforstået, hvilken topologi der tales om, siger man bare "topologien på M"
(eng.: The topology on M).
Blandt delmængderne af M, som jo udgør elementerne i potensmængden P(M),
skelnes altså mellem nogle delmængder, som er åbne og nogle, som er ikkeåbne.
Et åbent element i P(M), altså en åben delmængde af M, kaldes blot en
åben mængde (eng.: open set) i det topologiske rum. Vi venter som sagt lidt
med at interpretere begrebet "åben".
For at være et topologisk rum, skal mængden af åbne mængder blot opfylde
følgende tre krav, som vi kan opfatte som axiomer:
Axiom 1: M og Ø er åbne mængder.
Axiom 2: Fællesmængden af to åbne mængder er en åben mængde.
Axiom 3: Foreningsmængden af en vilkårlig mængde åbne mængder er en åben
mængde.
Det var det hele!
9. Hvis vi f.eks. havde valgt at lade alle delmængder af M, dvs. alle elementer i
P(M), være åbne, ville vi have et topologisk rum, idet alle tre axiomer tydeligvis
ville være opfyldt. Denne situation, hvor vi altså ikke skelner mellem åbne og
ikke-åbne mængder, er dermed, som et specialtilfælde, medregnet som et muligt
topologisk rum. I dette tilfælde siges det topologiske rum at være diskret (eng.:
discrete).
Vi kunne også, som den anden yderlighed, udelukkende lade Ø og M være
åbne. I dette tilfælde havde vi et topologisk rum, som af forståelige grunde kaldes
for trivielt (eng.: trivial).
Men det er naturligvis ikke disse specialtilfælde, der viser, hvad der ligger i begrebet
topologisk rum. Tværtimod kan man sige, at det interessante ved et topologisk
rum netop er, at det i almindelighed hverken er diskret eller trivielt.
90