PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Tia Hansen og Jens Mammen, 19.12.94
verset af genstande"), som har en bestemt egenskab (nemlig at være "ikke-afgørbar").
Det gør jeg så ved at "konstruere" en sådan delmængde og dernæst
påvise, at den har egenskaben. Men jeg kan ikke "konstruere" denne mængde
konstruktivt, dvs. ved hjælp af noget kriterium eller nogen regelbaseret procedure.
Alligevel hævder jeg, at den eksisterer, dog uden eksplicit henvisning til
udvalgsaxiomet, da jeg jo som sagt har villet begrænse den eksplicitte matematik
til et minimum i bogen. (Det havde måske været klogt at henvise mere eksplicit
i dette tilfælde, fordi jeg så ikke var kommet til at henvise til en ikke-eksisterende
regel i fodnote 1 side xvi i Addendum. [Fejlen er rettet i 1996-udgaven.])
Det næste eksempel henter jeg fra Penrose's "The emperor's new mind", kapitel
4, hvor Penrose omtaler et eksempel, der stammer fra den hollandske matematiker
E.J. Brouwer. Hvis man har en cirkelflade, som man ved en kontinuert
transformation (en såkaldt "gummi-transformation", hvor alle nabopunkter bliver
ved at være nabopunkter) afbilder på sig selv, vil man kunne udlede, at det
fører til en selvmodsigelse at hævde, at ingen punkter derved havner oven i sig
selv. Ergo må der eksistere mindst ét punkt, der havner oven i sig selv, selv om
man ikke kan sige hvilket. Altså eksisterer der et punkt, som vi ikke kan påpege
positivt ved en regel, men kun negativt gennem konsekvenserne af dets ikkeeksistens.
Vi siger så, at det dermed også kan udpeges positivt, men i kraft af
udvalgsaxiomet. Egentlig har vi bare fulgt den klassiske logiks metode: Hvis
ikke-eksistens af x medfører en modsigelse, så må x eksistere.
Brouwer var imidlertid ikke glad for denne logiske konklusion. Det var nemlig
også Brouwer, der i 1924 grundlagde den ovenfor nævnte "intuitionisme", der
ikke accepterede den slags eksistensbeviser. Altså var Brouwer også nødt til at
afvise selve den ovenfor anvendte logiske slutningsform og dermed det såkaldte
princip om "det udelukkede tredje". Når det var påvist, at en påstand var falsk
eller selvmodsigende, var det altså ikke dermed påvist, at dens negation var
sand, sagde Brouwer, og med ham andre intuitionister. De ville ikke lade logikken
få magt over den umiddelbare evidens, og man kan jo godt forstå dem lidt.
På den anden side er det ikke let at lave matematik, hvis man ikke anerkender
de ovennævnte såkaldte indirekte beviser. Brouwer var vist ikke selv glad for sit
eksempel med cirklen.
Eksemplet ligger meget tæt på et andet eksempel. Forestil jer, at vi har en kugle,
som der vokser hår på over det hele. Hårene sidder tæt overalt på kuglen. En
frisør får nu til opgave at frisere kuglen, så at hårene ligger ned, og der ikke
kommer hvirvler nogen steder. En hvirvel er et punkt på kuglen, hvorfra hårene
stritter i vidt forskellig retning. Kan det lade sig gøre? For ikke at ødelægge jeres
jul helt, kan jeg godt røbe, at det kan bevises, at det vil føre til selvmodsigelser,
hvis vi antager, at det kan lade sig gøre. Altså må der eksistere mindst én
hvirvel i kuglens frisure, uanset hvor dygtig frisøren er.
21