PSYKENS TOPOLOGI - Niels Engelsted

Studiebrev 8. Jens Mammen, 09.05.95
X's ydre er altså en åben mængde.
28. Vi kan nu definere X's afslutning (closure), skrevet Cl(X) som komplementet
i M til X's ydre. Vi har altså Cl (X)=M\Ext(X)= M\(Int(M\X)).
X's afslutning er en afsluttet mængde, fordi den er komplementet til Ext(X), der
var åben.
En afsluttet mængde er sin egen afslutning.
Hvis man anvender dualitetsreglerne på definitionen, kan man se, at X's afslutning
netop er fællesmængden af alle de afsluttede mængder i topologien, som
indeholder X.
Hvis X er et åbent interval i standardtopologien på R, er Cl(X) det tilsvarende
lukkede interval. Hvis X er mængden af rationelle punkter på R, er Cl(X) hele
R.
29. Endelig kan vi nu definere X's rand (boundary), skrevet Bd(X) som det, der
hverken er X's indre eller X's ydre, med andre ord Bd(X)=M\(Int(X)∪Ext(X))=
M\(Int(X)∪Int(M\X)).
Da Bd(X) er komplement til en åben mængde, er den selv afsluttet.
Hvis X er et interval på R (åbent eller lukket eller "halvåbent"), er Bd(X) intervallets
endepunkter. Hvis X er en "klat" i R 2 , er Bd(X) "stregen" rundt om klatten.
Begge dele forudsat standardtopologierne.
30. Det ses, at Cl(X)=Int(X)∪Bd(X). Afslutningen af X er foreningsmængden af
X's indre og X's rand.
Det ses også, at Bd(X)= Cl(X)∩Cl(M\X). X's rand er fællesmængden af afslutningerne
af X og af X's komplement i M.
Bd(X)=Bd(M\X). X og X's komplement i M har samme rand.
31. Jeg vil nu definere de samme begreber ad en lidt anden vej for at illustrere
deres indbyrdes forbindelser på en anden måde. Da jeg, ligesom ovenfor, ikke
vil tynge fremstillingen med beviser, overlader jeg det til læseren at indse, at vi
når frem til de samme begreber.
Desuden anfører jeg en række yderligere påstande om begrebernes relationer
uden bevis. Beviserne følger direkte af definitionerne og kan udledes af læseren
med lidt tålmodighed.
108